Explique por que a função é descontínua no dado número a . Esboce o gráfico da função.

f x = cos ⁡ x ,     x < 0                       0 ,                     x = 0   1 - x 2 ,     x > 0 ,               a = 0

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

O enunciado fornece uma função f e um ponto x = a e pede para justificarmos o motivo de f não ser contínua nesse ponto.

Uma função é contínua em um ponto se o valor da função for igual ao valor do limite nesse ponto. É isso que temos que verificar!!!

Passo 2

Vamos calcular o limite de f quando x tende a a = 0 . Quando tomamos o limite, nos aproximamos de x = a = 0 por valores de x próximos de 0 porém nunca iguais a 0. Além disso, a função difere à direita e à esquerda de x = 0 . Então temos que calcular os limites laterais e vermos se eles são iguais, se consequentemente nosso limite existe.

O limite à esquerda (com x < 0 ) é dado por

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ cos ⁡ x = cos ⁡ 0 = 1

O limite à direita (com x > 0 ) é dado por

lim x → 0 + ⁡ f x = lim x → 0 + ⁡ 1 - x 2 = 1 - 0 2 = 1

Como os limites laterais são iguais, segue que

lim x → 0 ⁡ f ( x ) = 1

Por outro lado, f 0 = 0 ≠ lim x → 0 ⁡ f ( x ) . Então f não é contínua em x = a = 0 .

Passo 3

O esboço do gráfico da função está presente abaixo e foi feito no GeoGebra:

Resposta

R: demonstração e esboço de gráfico.

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