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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.1 - Ex. 52

52. Mostre que após uma translação de eixos para a nova origem - 1 4 π ,   1 a equação y = 1 2 s e n   x + cos ⁡ x + 1 torna – se y ' = s e n   x '

Passo 1

Antes de começar é preciso alertá-los de um erro no enunciado a equação certa que devemos avaliar é:

y = 1 2 ( s e n   x + cos ⁡ x ) + 1

Com a que o enunciado fornece nunca chegaríamos a resposta. Prosseguindo.

Vamos entender que se ( x , y ) representa as coordenadas de qualquer ponto P em relação a um dado conjuntos de eixos que tínhamos, então uma translação para uma nova origem com coordenadas ( - 1 4 π ,   1 ) em relação aos eixos antigos, então ( x ' , y ' ) representam as coordenadas do mesmo ponto em relação a nova origem. E são dados por:

x = x ' - 1 4 π           e           y = y ' + 1

Passo 2

Vamos pensar um pouco, se uma equação de uma curva é dada em x e y então a equação em x’ e y’ será obtida substituindo as igualdades que vimos no passo 1 na nossa equação. Assim:

y = 1 2 ( s e n   x + cos ⁡ x ) + 1

⇒ y ' + 1 = 1 2 s e n   x ' - 1 4 π + cos ⁡ x ' - 1 4 π + 1

⇒ y ' = 1 2 s e n   x ' ⋅ cos ⁡ π 4 - s e n π 4 ⋅ cos ⁡ x ' + cos ⁡ x ' ⋅ cos ⁡ π 4 + s e n π 4 ⋅ s e n   x '

⇒ y ' = 1 2 2 2 s e n   x ' - 2 2 cos ⁡ x ' + 2 2 cos ⁡ x ' + 2 2 s e n   x '

⇒ y ' = 1 2 s e n   x ' + 1 2 s e n   x '

y ' = s e n   x '

Provamos então o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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