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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 51

Dê um exemplo de duas funções que sejam descontínuas num número x = a , mas cuja soma seja contínua.

Passo 1

Vou definir duas funções f e g como:

f x = - x + 1   s e   x < 0 0   s e   x ≥ 0   e   g x = 0   s e   x < 0 x + 1   s e   x ≥ 0

E vamos verificar se elas são descontínuas em 0 e a soma é contínua em 0.

Passo 2

Para verificar que f(x) é descontínua em 0, calcularemos os limites laterais:

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ - x + 1 = 1 , pois usamos x < 0

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 0 = 0 , pois usamos x > 0

Logo, como os limites laterais são diferentes, f é descontínua em 0.

Passo 3

Vamos verificar que g(x) é descontínua em 0, calculando os limites laterais:

lim x → 0 - ⁡ g x = lim x → 0 - ⁡ 0 = 0 , pois usamos x < 0

lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x + 1 = 1 , pois usamos x > 0

Logo, como os limites laterais são diferentes, g é descontínua em 0.

Passo 4

Calculando f + g x , temos:

f + g x = - x + 1 + 0 = - x + 1   s e   x < 0

f + g x = 0 + x + 1 = x + 1   s e   x ≥ 0

Para verificar que é contínua, calcularemos os limites laterais e ( f + g ) ( 0 ) e verificaremos que são iguais:

lim x → 0 - ⁡ ( f + g ) x = lim x → 0 - ⁡ - x + 1 = 1 , pois usamos x < 0

lim x → 0 + ⁡ ( f + g ) ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x + 1 = 1 , pois usamos x > 0

Como os limites laterais são iguais e f + g 0 = 1 , então a soma é contínua.

Resposta

Defino as funções para a = 0 .

f x = - x + 1   s e   x < 0 0   s e   x ≥ 0  

g x = 0   s e   x < 0 x + 1   s e   x ≥ 0

f + g x = - x + 1   s e   x < 0 x + 1   s e   x ≥ 0

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Escreva uma equação que expresse o fato de que uma função f é contínua no número 4 .
a) Do gráfico de f , explique os pontos em que f é descontínua e explique por quê.b) Para cada um dos pontos indicados na parte (a), determine se f é contínua à direita, à esquerda ou nenhum deles.
Use a definição de continuidade e propriedades dos limites para demonstrar que a função é contínua em um dado número a . f x = x 2 + 7 - x , em a = 4 .
Do gráfico de g , diga os intervalos em que g é contínua.
Use a definição de continuidade e propriedades de limites para mostrar que a função é contínua no intervalo dado. f x =2 x + 3 x - 2 , ( 2 ,∞ )