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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.6 - Ex. 50

Dê um exemplo para mostrar que o produto de duas funções f e g pode ser contínuo em um número x = a , onde f é contínua mas g é descontínua.

Passo 1

Como o exercício pede pra dar um exemplo, nós podemos criar o exemplo que quisermos. Assim, defino

f x = - x   s e   x < 0 0   s e   x ≥ 0   e   g x = 1   s e   x < 0 x   s e   x ≥ 0

Passo 2

Primeiro vamos verificar se f(x) é contínua em 0:

Para verificar f(x), calculamos os limites laterais e, se forem iguais, verificamos o valor da f(0).

lim x → 0 - ⁡ f x = lim x → 0 - ⁡ - x = 0 , pois usamos x < 0

lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ 0 = 0 , pois usamos x > 0

Como os limites laterais são iguais e f 0 = 0 , então f é contínua em 0

Passo 3

Vamos agora verificar a descontinuidade de g(x) em 0:

Para isso, primeiro calculamos os limiter laterais em 0.

lim x → 0 - ⁡ g ( x ) = lim x → 0 - ⁡ 1 = 1 , pois usamos x < 0

lim x → 0 + ⁡ g ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x = 0 , pois usamos x > 0

Como os limites são diferentes, então g(x) é descontínua em 0.

Passo 4

Vamos verificar quem é a função f.g(x):

Para x < 0 , f . g x = - x . 1 = - x

Para x ≥ 0 , f . g x = 0 . x = 0

Logo,

f . g x = - x   s e   x < 0 0   s e   x ≥ 0

Mas por essa definição, vemos que f.g(x) é exatamente igual a f(x), a qual é contínua pelo passo 2. Assim, temos um produto contínuo originário de uma função f(x) contínua e uma g(x) descontínua.

Resposta

Os exemplos são para a = 0 .

f x = - x   s e   x < 0 0   s e   x ≥ 0

g x = 1   s e   x < 0 x   s e   x ≥ 0

f . g x = - x   s e   x < 0 0   s e   x ≥ 0

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