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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 14

O Exemplo 1 e os exercícios 11, 12 e 13 são casos particulares do seguinte problema geral. Seja

f x = u a 2 + x 2 + v b - x

onde x está em 0 ,   b e u > v > 0 . Mostre que para o valor mínimo absoluto de f ocorrer em um número do intervalor aberto ( 0 ,   b ) , a seguinte desigualdade deve estar satisfeita:

a v < b u 2 - v 2

Passo 1

Como queremos mostrar essa desigualdade, vamos começar achando a derivada da f e igualando ela a 0 . Até porque queremos que o mínimo esteja dentro do intervalo aberto 0 ,   b , então a derivada vai ter que ser igual a 0 ou não existir.

Passo 2

Derivando f :

d f d x = u x a 2 + x 2 - v

Como a ≠ 0 a raiz do denominador nunca vai ser igual a 0 . Então não precisamos nos preocupar com os casos para os quais d f d x não existe. Vamos igualar a derivada a 0 :

u x a 2 + x 2 - v = 0

u x a 2 + x 2 = v

u x = v a 2 + x 2

u x 2 = v 2 a 2 + x 2

u 2 x 2 = v 2 a 2 + v 2 x 2

u 2 - v 2 x 2 = a 2 v 2

x u 2 - v 2 = a v

Passo 3

Repare que temos algo bem parecido com o que o exercício quer. Vamos agora isolar o x e ver se surge algo que restrinja os valores que queremos para ele.

x = a v u 2 + v 2

Como queremos que isso esteja dentro do intervalo aberto 0 ,   b então:

0 < a v u 2 + v 2 < b

Daí chegamos na relação:

a v < b u 2 - v 2

E acabôsse!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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