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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 60b

Exercício: 60 a - Muitas reações químicas são o resultado da interação de duas moléculas que sofrem modificação para produzir um novo produto. A velocidade da reação depende, em geral, da concentração dos dois tipos de moléculas. Se a é a quantidade da substância A e b é a quantidade da substância B no tempo t = 0, sendo x a quantidade do produto no instante t, então a velocidade de formação de x pode ser dada pela equação diferencial:

d x d t = K ( a - x ) ( b - x )

Ou

1 ( a - x ) ( b - x ) d x d t = K  

onde k é uma constante para a reação. Integre ambos os lados dessa equação para obter uma relação entre x e t (b) se a ≠ b , considere que x = 0 quando t = 0.

Passo 1

Vamos calcular a integral primeiramente, sendo:

1 ( a - x ) ( b - x ) d x d t = K  

Logo:

d x = K ( a - x ) ( b - x )   d t ; K d t = d x ( a - x ) ( b - x )

Considerando a ≠ b, temos:

∫ d x a - x b - x d x = ∫ K   d t

Realizando pelo método das frações parciais:

1 a - x b - x = A a - x + B b - x

1 ( a - x ) ( b - x ) = A b - x + B ( a - x ) ( a - x ) ( b - x )

Assim:

1 = A b - A x + B a - B x

1 = - A - B x + A b + B a

Criando um sistema de equações:

- A - B = 0 A b + B a = 1

A = - B   e   B = - A

A b - A a = 1

b - a A = 1 ; A = 1 b - a

A = -   B ;   - 1 b - a

Substituindo:

1 ( a - x ) ( b - x ) = 1 ( b - a ) ( a - x ) - 1 ( b - a ) ( b - x )

Passo 2

Inserindo na Integral:

∫ 1 ( b - a ) ( a - x ) - 1 b - a b - x d x = K t + C

1 b - a ∫ 1 a - x d x - 1 b - a ∫ 1 b - x d x = K t + C

1 b - a ln ⁡ a - x - 1 b - a ln ⁡ b - x = K t + C

1 b - a ln ⁡ b - x a - x = K t + C

Descobrindo C, para t = 0 e x = 0

1 b - a ln ⁡ b - 0 a - 0 = K ⋅ 0 + C

1 b - a ln ⁡ b a = C

Substituindo teremos:

1 b - a ln ⁡ b - x a - x = K t + 1 b - a ln ⁡ b a

Multiplicando os termos por b – a

ln ⁡ b - x a - x = b - a K t + ln ⁡ b a

Passo 3

Vamos colocar x no primeiro membro e descobrir o solicitado:

Tirando os logartimos:

b - x a - x = b a e b - a K t

b - x a = a - x b e b - a K t

a b - a x = a b e b - a K t - x b e b - a K t

a b - a x + x b e b - a K t = a b e b - a K t

- a + b e b - a K t x = a b e b - a K t - a b

x = a b e b - a K t - a b - a + b e b - a K t

x = a b 1 - e b - a K t a - b e b - a K t

Resposta

x = a b 1 - e b - a K t a - b e b - a K t

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