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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 51

Exercício: 51 – Calcule o problema de valor inicial determinando x e função de t:

t 2 - 3 t + 2 d x d t = 1   t > 2 ,     x 3 = 0  

Passo 1

Para resolver este problemas primeiro precisamos achar x, observe:

t 2 - 3 t + 2 d x   = 1 d t

d x = 1 d t t 2 - 3 t + 2

∫ d x =   ∫ d t t 2 - 3 t + 2

x + C 1 =   ∫ d t t 2 - 3 t + 2

Fatorando os termos:

t 2 - 3 t + 2 = ( t - 1 ) ( t - 2 )

Observe que x será a integral da função apresentada, desta forma:

x + C 1 =   ∫ 1 ( t - 1 ) ( t - 2 ) d t

Passo 2

Utilizando pelo método de frações parciais:

1 ( t - 1 ) ( t - 2 ) = A t - 1 + B t - 2

Tirando mmc:

1 ( t - 1 ) ( t - 2 ) = A t - 2 + B ( t - 1 ) ( t - 1 ) ( t - 2 )

Poderemos simplificar os denominadores e ficaremos com:

1 = A t - 2 + B ( t - 1 )

Realizando a forma distributiva:

1 = A t - 2 A + B t - B

Agrupando os conjuntos:

1 = A + B t - 2 A - B

Assim:

A + B = 0

- 2 A - B = 1

B = - A

- 2 A - - A = 1

- 2 A + A = 1

- A = 1 ; A = - 1

- 1 + B = 0 ; B = 1

- 1 t - 1 + 1 t - 2

Inserindo na integral:

x =   ∫ - 1 t - 1 + 1 t - 2 d t

Separando a integral:

- ∫ 1 t - 1 d t +   ∫ 1 t - 2 d t =   - ln ⁡ t - 1 + ln ⁡ t - 2

Podemos reescrever este resultado da seguinte forma:

x = ln ⁡ t - 2 t - 1 + C

Utilizando propriedade logarítmica, temos que:

t - 2 t - 1 = C e x para o qual t =3 e x = 0

3 - 2 3 - 1 = C e 0 ; 1 2 = C

Assim: 1 2 e x = x = ln ⁡ 2

Passo 3

Reescrevendo os termos:

x = - ln ⁡ t - 1 + ln ⁡ t - 2 + ln ⁡ 2

Resposta

x = - ln ⁡ t - 1 + ln ⁡ t - 2 + ln ⁡ 2

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