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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 31

No Exercício ∫ 2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   d ϴ , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   =   A ϴ + B ϴ 2 + 2 ϴ + 2 + C ϴ + D ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2

2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 = A ϴ + B ϴ 2 + 2 ϴ + 2 + C ϴ + D  

2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 = A ϴ 3 + 2 A ϴ 2 + 2 A ϴ + B ϴ 2 + 2 B ϴ + 2 B + C ϴ + D  

2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 = A ϴ 3 + ( 2 A + B ) ϴ 2 + ( 2 A + 2 B + C ) ϴ + 2 B + D  

Analizando a equação, igualamos os valores nos parenteses aos coeficientes do outro lado da equação:

A = 2

2 A + B = 5

2 A + 2 B + C = 8

2 B + D = 4

Substituindo o valor de “A” na segunda equação obtemos o valor de “B”:

2 A + B = 5

2.2 + B = 5

4 + B = 5

B = 1

Na terceira equação substuimos o valor de “A” e “B” para encontrar o valor de “C”:

2 A + 2 B + C = 8

2.2 + 2.1 + C = 8

C = 8   - 4 - 2

C = 2

Na quarta equação substituimos o valor de “B” e encontramos o valor de “D”:

2 B + D = 4

2.1 + D = 4

D = 2

Por último, substituimos agora no lugar das constantes:

2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   =   A ϴ + B ϴ 2 + 2 ϴ + 2 + C ϴ + D ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2

=   2 ϴ + 1 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 + 2 ϴ + 2 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ 2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   d ϴ =   ∫ 2 ϴ + 1 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 d ϴ + ∫ 2 ϴ + 2 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   d ϴ

=   2 ∫ ϴ ϴ 2 + 2 ϴ + 2 d ϴ + ∫ 1 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 d ϴ + 2 ∫ ϴ ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   d ϴ + 2 ∫ 1 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   d ϴ

= - 1 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 + l n   ϴ 2 + 2 ϴ + 2 - t g - 1 ϴ + 1 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração).

Resposta

∫ 2 ϴ 3 + 5 ϴ 2 + 8 ϴ + 4 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 2   d ϴ = - 1 ϴ 2 + 2 ϴ + 2 + l n   ϴ 2 + 2 ϴ + 2 - t g - 1 ϴ + 1 + c

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