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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 9.1 - Ex. 12

Utilize o método de Euler para calcular as três primeiras aproximações do problema de valor inicial dado para o tamanho do incremento especificado. Calcule a solução exata e estude a precisão de suas aproximações. Arredonde até a quarta casa decimal.

y ' = x   ( 1 - y )

y 1 = 0 ; d x = 0 , 2

Passo 1

Galera, o método de Euler é um método onde encontramos um valor aproximado para as soluções de EDO em um pequeno intervalo em torno de x 0 . O enunciado pelo para calcular as três primeiras aproximações para o problema de Valor inicial dado:

Temos as seguintes informações:

y ' = x   ( 1 - y )

y 1 = 0 ; d x = 0,2

Então, vamos lá:

y 1 = y 0 +   1 - y 0 d x

Vamos substituir os valores dados na questão, para encontrar y 1 ,

y 1 =   0 + 1   ( 1 - 0 ) ( 0,2 )

y 1 = 0,2

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 1 para encontrar y 2 ,

y 2 = y 1 + x 1 1 - y 1     d x

y 2 =   0,2 + 1,2 ( 1 - 0,2 ) ( 0,2 )

y 2 =   0,2 + 1,2 0,16 = 0,392

Agora, vamos utilizar os valores encontrados em y 2 para encontrar y 3 ,

y 3 = y 2 + x 2   1 - y 2   d x

y 3 = 0,392 + 1,4   ( 1 - 0,392 ) ( 0,2 )

y 3 = 0,392 + 1,4 ( 0,608 ) ( 0,2 )

y 3 = 0,392 + 0,1024 = 0,5622

Passo 2

Agora, vamos encontrar a solução exata:

Temos a seguinte equação :

y ' = x   ( 1 - y )

Vamos reescrever a equação da seguinte forma:

d y 1 - y = x   d x

Podemos utilizar o método das equações separáveis, vamos integrar em ambos os lados da equação:

∫ d y 1 - y =   ∫ x   d x

ln ⁡ 1 - y = x 2 2 + C

Passo 3

Para x = 1 ; y = 0   temos:

ln ⁡ 1 = 1 2 + C

1 - 1 2 = C

C = 1 2

Logo,

ln ⁡ 1 - y = x 2 2 + 1 2

Vamos aplicar a propriedade dos logaritmos para encontrar o valor de y

ln ⁡ 1 - y = x 2 + 1 2

e ln ⁡ ( 1 - y ) =   e x 2 + 1 2

1 - y =   e x 2 + 1 2

y = 1 -   e x 2 + 1 2

Passo 4

Agora, vamos verificar a precisão da aproximação:

y 1,6 ≅ 5,416

Resposta

y 1,6 ≅ 5,416

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