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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 28

No Exercício ∫ 1 x 4 + x   d x , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais.

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a fração:

1 x 4 + x   = 1 x ( x 3 + 1 )

= 1 x ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

1 x ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )   =   A x + B ( x + 1 ) + C x + D ( x 2 - x + 1 )

1 = A ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 ) + B x ( x 2 - x + 1 ) + C x + D ( x + 1 ) . x

1 = ( A x + A ) ( x 2 - x + 1 ) + B x 3 - B x 2 + B x + C x + D ( x 2 + x )

1 = A x 3 - A x 2 + A x   + A x 2 - A x + A + B x 3 - B x 2 + B x + C x 3 + C x 2 + D x 2 + D x

1 = ( A + B + C ) x 3 + ( - B + C + D ) x 2 + ( B + D ) x + A

Analizando a equação, igualamos os valores nos parenteses aos coeficientes do outro lado da equação:

A + B + C = 0

- B + C + D = 0

B + D = 0

A = 1

Substituimos o valor de “A” na primeira equação, temos:

A + B + C = 0

1 + B + C = 0

B + C = - 1

C   =   - 1 - B

E reorganizando a terceira equação:

B + D = 0

D = - B

Com esses resultados substituimos na segunda equação:

- B + C + D = 0

- B + ( - 1 - B ) + ( - B ) = 0

- B - 1 - B - B = 0

- 3 B = 1

B = - 1 3

Substituimos para encontrar o valor de “C”:

C   =   - 1 - B

C   =   - 1 - - 1 3

C   =   - 1 + 1 3

C   = - 2 3

Substituimos para encontrar o valor de “D”:

D = - B

D = - - 1 3

D = 1 3

Por último, substituimos agora no lugar das constantes:

1 x ( x + 1 ) ( x 2 - x + 1 )   =   A x + B ( x + 1 ) + C x + D ( x 2 - x + 1 )

=   1 x + - 1 3 ( x + 1 ) + - 2 3 x + 1 3 ( x 2 - x + 1 )

=   1 x - 1 3 . 1 ( x + 1 ) + 1 3 . - 2 x + 1 ( x 2 - x + 1 )

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ 1 x 4 + x   d x   = ∫ 1 x d x - ∫ 1 3 . 1 ( x + 1 ) d x + ∫ 1 3 . - 2 x + 1 ( x 2 - x + 1 ) d x

= ∫ 1 x d x - 1 3 ∫ 1 ( x + 1 ) d x + 1 3 ∫ - 2 x + 1 ( x 2 - x + 1 ) d x

= ∫ 1 x d x - 1 3 ∫ 1 ( x + 1 ) d x + 1 3 - 2 ∫ x ( x 2 - x + 1 ) d x + ∫ 1 ( x 2 - x + 1 ) d x

Resolvendo separadamente ∫ 1 ( x + 1 ) d x pelo método da substituição teremos:

u =   x + 1

d u =   x + 1 ' d x

d u = d x

∫ 1 ( x + 1 ) d x = ∫ 1 u   d u

= l n   u

Substituindo u =   x + 1 :

l n   u = l n x + 1

Substituindo na expressão principal:

= l n x - 1 3 l n x + 1 - 1 3 l n x 2 - x + 1   + c    

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ 1 x 4 + x   d x = l n x - 1 3 l n x + 1 - 1 3 l n x 2 - x + 1   + c    

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