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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 25

No Exercício ∫ 2 s + 2 ( s 2 + 1 ) ( s - 1 ) 3   d s , expresse o integrando como soma de frações parciais e calcule as integrais

Passo 1

Para integrar de acordo como o enuciado pede devemos, inicialmente, achamos as constantes da fração parcial e em seguida calcular a integral. Para isso usaremos a fórmula:

P ( x ) ( x - a ) n   =   A 1 ( x - a )   + A 2 ( x - a ) 2 + . . . + A n ( x - a ) n

Ou

P ( x ) ( x - a ) 2 + b 2 n   =   A 1 . x + B 1 ( x - a ) 2 + b 2   + A 2 . x +   B 2 ( x - a ) 2 + b 2 n + . . . + A n . x + B n ( x - a ) 2 + b 2 n

Passo 2

Para encontrar o valos da constantes primeiramente vamos separar o denominador para formar o maior número de fração possível “revertendo” o mmc:

2 s + 2 ( s 2 + 1 ) ( s - 1 ) 3 = A s + B ( s 2 + 1 ) + C ( s - 1 ) + D ( s - 1 ) 2 + E ( s - 1 ) 3

Depois pegamos o denominador da nossa fração referência que é ( s 2 + 1 ) ( s - 1 ) 3 e dividimos pelo denominador das frações parciais, com o resultado multiplicamos o númerador:

2 s + 2 = A s + B . s - 1 ) 3 + C . ( s 2 + 1 . s - 1 ) 2 + D . ( s 2 + 1 . s - 1 + E . ( s 2 + 1 )

2 s + 2 = A s + B s 3 - 3 s 2 . 1 + 3 s . 1 2 - 1 3 + C . s 2 + 1 s 2 - 2 s . 1 + 1 2 + D s 3 - s 2 + s - 1 + E s 2 + E

2 s + 2 = A s 4 - 3 A s 3 + 3 A s 2 - A s + B s 3 - 3 B s 2 + 3 B s - B + C s 4 - 2 C . s 3 + 2 C s 2 - 2 C s + C + D s 3 - D s 2 + D s - D + E s 2 + E

2 s + 2 = A + C s 4 + - 3 A + B - 2 C + D s 3 + 3 A - 3 B + 2 C - D + E s 2 + - A + 3 B - 2 C + D + E s + ( - B + C - D )

Analizando os dois lados da igualdade percebemos que não aparece s 4 , s 3 e nem s 2 . Logo é possível concluir que:

A + C = 0

- 3 A + B - 2 C + D = 0

3 A - 3 B + 2 C - D + E = 0

- A + 3 B - 2 C + D + E = 2

- B + C - D = 2

Somando todas as equações obtemos obtemos o valor de “E”:

A + C = 0

- 3 A + B - 2 C + D = 0

3 A - 3 B + 2 C - D + E = 0

- A + 3 B - 2 C + D + E = 2 +

- B + C - D = 2

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2 E = 4

E = 4 2

E = 2

Somando apenas a segunda e a terceira equação:

- 3 A + B - 2 C + D = 0

3 A - 3 B + 2 C - D + E = 0 +

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

    - 2 B + E   = 0

- 2 B + 2 =   0

B   =   - 2 - 2

B   = 1

Somando apenas a terceira e a quarta equação:

3 A - 3 B + 2 C - D + E = 0                    

- A + 3 B - 2 C + D + E = 2                 +

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2 A + E   = 2

2 A + 2   = 2

2 A = 2 - 2

A   =   0

Substituindo na primeira equação:

A + C = 0

C = 0

Por último descobrimos o valor de “D’ substituimos o valor das outras constantes na quinta equação:

- B + C -   D = 2

- 1 + 0   - D = 2

- D = 2 - 1

- D =   1

D = - 1

Passo 3

Agora calculamos a integral das frações parciais:

∫ 2 s + 2 ( s 2 + 1 ) ( s - 1 ) 3   d s   = ∫ 0 . s + 1 ( s 2 + 1 ) d s     - ∫ 0 ( s - 1 )   d s + ∫ - 1 ( s - 1 ) 2   d s + ∫ 2 ( s - 1 ) 3   d s

= ∫ 1 ( s 2 + 1 ) d s     - ∫ 1 ( s - 1 ) 2   d s + 2 ∫ 1 ( s - 1 ) 3   d s

= t g - 1 s   - ∫ 1 ( s - 1 ) 2   d s + 2 ∫ 1 ( s - 1 ) 3   d s  

Para continuar desenvolvendo iremos usar o método da substituição em ∫ 1 ( s - 1 ) 2   d s :

t   = ( s   - 1 )

d t   = ( s   - 1 ) '   d s

d t   = d s

∫ 1 ( s - 1 ) 2   d s = ∫ 1 t 2   d t

= ∫ t - 2   d t

= t - 2 + 1 - 2 + 1

= t - 1 - 1

= - 1 t

= - 1 s - 1

Substituindo:

= t g - 1 s   - - 1 s - 1 + 2 ∫ 1 ( s - 1 ) 3   d s

= t g - 1 s   + 1 s - 1 + 2 ∫ 1 ( s - 1 ) 3   d s

Pra finalizar resolvemos ∫ 1 ( s - 1 ) 3   d s também pelo método da substituição:

t   = ( s   - 1 )

d t   = ( s   - 1 ) '   d s

d t   = d s

∫ 1 ( s - 1 ) 3   d s = ∫ 1 t 3   d t

= ∫ t - 3   d t

= t - 3 + 1 - 3 + 1

= t - 2 - 2

= - 1 2 t 2

= - 1 2 s - 1 2

Agora substituimos novamente:

= t g - 1 s   + 1 s - 1 + 2 - 1 2 s - 1 2

= t g - 1 s   + 1 s - 1 - 1 s - 1 2 + c

OBS: acrescentamos ao final o C (constante de integração)

Resposta

∫ 2 s + 2 ( s 2 + 1 ) ( s - 1 ) 3   d s = t g - 1 s   + 1 s - 1 - 1 s - 1 2 + c

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