Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 50

O Exercício fornece a aceleração , a velocidade inicial e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o caso: .

Passo 1

Queremos encontrar a função a partir da análise da função que, como o enunciado nos mostrou, é a sua segunda derivada. Assim, utilizaremos as regras de derivação no sentido inverso para encontrarmos, primeiramente a aceleração que é a primeira derivada e aplicando essa mesma estratégia uma segunda vez obtemos a função que é a solução do nosso problema.

Passo 2

Lembrando-se da regra da cadeia que nos diz que dada uma função composta se quisermos deriva-la vamos precisar fazer . Com isso, podemos pensar numa função que tenha derivada igual a .Primeiramente vamos escrever a nossa função de tal forma que fique mais clara a regra da cadeia , assim sendo, temos . Agora podemos encontrar a nossa função essa função é exatamente devido a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função tal que para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que . Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

Aplicando a condição inicial que diz que , temos:

Assim, encontramos uma expressão para . Utilizando mais uma vez esse raciocínio vamos encontrar, então, a nossa função desejada que é

Passo 4

Como a nossa função tem a forma podemos pensar novamente na regra da cadeia que, dessa vez, é mais imediata haja vista que a derivada de .

Passo 5

Sendo assim podemos pensar em uma função que possui derivada igual a da nossa função da velocidade e aplicarmos o resultado do corolário da seguinte forma: