O Exercício fornece a velocidade v = ds / dt e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o seguinte caso:

v = 2 / pi * cos(2t / pi), s(pi^2) = 1

Passo 1

Queremos encontrar a função s ( t ) a partir da análise da função v ( t ) que, como o enunciado nos mostrou, é a sua derivada. Assim, utilizaremos as regras de derivação no sentido inverso para encontrarmos a solução do nosso problema.

Passo 2

Lembrando-se da regra da cadeia que nos diz que dada uma função composta f ( g ( t ) ) se quisermos deriva-la vamos precisar fazer → g ' t * f ' g t . Com isso, podemos pensar numa função que tenha derivada igual a v t = s ' t , essa função é exatamente s e n ( 2 t π ) devido a essa aplicação.

Passo 3

Sendo assim, podemos imaginar uma função g t tal que g t = s e n ( 2 t π ) e observamos que g ' t = v   t = s ' ( t ) . Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que s ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que s x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

s t = g t + C

s t = s e n ( 2 t π )   + C

Como s π 2 = 1 podemos descobrir quanto vale C:

s π 2 = s e n 2 π 2 π + C

1 = s e n   2 π + C

1 =   0 + C

C = 1

Logo, para um instante de tempo t qualquer, nossa função s ( t ) será:

s t = s e n ( 2 t π )   + 1

Resposta

∴ s t = s e n ( 2 t π )   + 1

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