Demonstre que se f" > O ao longo de todo um intervalo [a, b], então f' tem no máximo uma raiz em [a, b]. E se, em vez disso, f"

Para mostrar que f’ tem no máximo uma raiz dentro do intervalo [a, b] vamos adotar uma estratégia baseada em contradição. Vamos supor que nossa função f’ tem mais de uma raiz dentro desse intervalo e mostraremos que isso é incongruente com o que foi dado no enunciado.

Supondo, então, que f’(x) possua 2 zeros que chamaremos de r1 e r2, teremos que: ’(r1) = ’(r2) = 0. Sendo assim, como a função ’ é continua nesse intervalo podemos aplicar o teorema de Rolle e, assim, teremos um número c entre r1 e r2 tal que ”(c) = 0, mas como o enunciado nos informou que ”>0 em todo o intervalo, concluímos que ’ tem , no máximo, um zero e essa mesma análise vale para quando ”