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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.2 - Ex. 52

Se r → do exerc��cio 51 é uma função vetorial, mostre que r → ' ' t + ω 2 r → t = 0 .

Passo 1

Fala ai galerinha!

A questão tem como objetivo demonstrar que a função vetorial r → t = a ^ cos ⁡ ω t + b ^ sin ⁡ ω t satisfaz a equação diferencial r → ' ' t + ω 2 r → t = 0 . Essa demonstração é fundamental para entender o comportamento de sistemas que exibem movimento harmônico simples.

Para resolver esta questão preciamos

  1. Calcular a primeira derivada de r ( t ) em relação a t , usando a Regra da cadeia.
  2. Calcular a segunda derivada de r ( t ) em relação a t .
  3. E por fim, substituir a segunda derivada e a função original na equação dada.

r �� ' ' t + ω 2 r → t = 0

Vamos lá! Agora é só resolver!

Passo 2

A função r → do exercício 51 é:

r → t = a ^ cos ⁡ ω t + b ^ sin ⁡ ω t

Precisamos calcular quem é r → ' t e r → ' ' ( t ) , desta forma vamos calcular a primeir e a segunda derivada de r → t , como esta é uma função vetorial precisamos calcular a derivada de cada componete, que neste caso são a ^   e   b ^ .

Derivada da componente a ^ :

- Primeira derivada

d d t cos ⁡ ω t = - ω sin ⁡ ω t

- Segunda derivada

d d t - ω sin ⁡ ω t = - ω 2 cos ⁡ ω t

Derivada da componente b ^ :

- Primeira derivada

d d t sin ⁡ ω t = ω cos ⁡ ω t

- Segunda derivada

d d t ω cos ⁡ ω t = - ω 2 sin ⁡ ω t

Então r → ' ' ( t ) é:

r → ' ' t = - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ - ω 2 sin ⁡ ω t b ^  

Passo 3

Agora temos tudo que precisamos para poder calcular r → ' ' t + ω 2 r → t .

r → ' ' t + ω 2 r → t = - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ - ω 2 sin ⁡ ω t b ^   + ω 2 ∙ ( a ^ cos ⁡ ω t + b ^ sin ⁡ ω t )

Resolvendo a multiplicando do segundo termo

r → ' ' t + ω 2 r → t = - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ - ω 2 sin ⁡ ω t b ^ + ω 2 a ^ cos ⁡ ω t + ω ² b ^ sin ⁡ ω t

Separando os termos nas componentes a ^ e b ^ , temos

r → ' ' t + ω 2 r → t = - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ - ω 2 sin ⁡ ω t b ^ + ω ² cos ⁡ ω t a ^ + ω ² sin ⁡ ω t b ^

Mas a soma vetorial é a soma de cada componente, então:

r → ' ' t + ω 2 r → t = ( - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ + ω ² cos ⁡ ω t a ^ ) + ( - ω 2 sin ⁡ ω t b ^ + ω ² sin ⁡ ω t b ^ )

Como r → ' ' t + ω 2 r → t = 0 , temos que

r → ' ' t + ω 2 r → t = ( - ω 2 cos ⁡ ω t a ^ + ω ² cos ⁡ ω t a ^ ) + ( - ω 2 sin ⁡ ω t b ^ + ω ² sin ⁡ ω t b ^ )

Colocando ω ² em evidência

r → ' ' t + ω 2 r → t = ω 2 ∙ - cos ⁡ ω t a ^ + cos ⁡ ω t a ^ + ω 2 ∙ ( - sin ⁡ ω t b ^ + sin ⁡ ω t b ^ )

r → ' ' t + ω 2 r → t = ω 2 ∙ 0 + ω 2 ∙ 0

Logo, concluímos que

r → ' ' t + ω 2 r → t = 0

Resposta

Demonstração

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