Enunciado

No Exercício 6 da Seção 6.2, giramos em torno do eixo y a região entre a curva y = 9 x / x 3 + 9   e o eixo x de x = 0 a x = 3 para gerar um sólido de volume 36 π . Em vez disso, se girarmos a região em torno do eixo x , que volume obteremos? (Veja o gráfico no Exercício 6 da Seção 6.2)

Passo 1

Precisamos obter o volume de um sólido de revolução formado pela rotação de uma região em torno do eixo x . Vamos relembrar então como foi ensinado lá na Seção 6.1, pelo método do disco. Lá, aprendemos que, o volume de um sólido é dado pela seguinte integral:

V = ∫ a b A x d x = ∫ a b π R x 2 d x

Em que a e b são os limites inferior e superior de integração (valores mínimo e máximo de x ), respectivamente, e R ( x ) é a função que descreve o raio dos discos transversais ao eixo de rotação, que no nosso caso é o eixo x . Portanto, só precisamos definir quem são os limites e qual é a nossa função R ( x ) .

Passo 2

Para nos auxiliar na visualização da região, vamos esboça-la abaixo.

Em destaque temos a região limitada pelas curvas. Temos que identificar quem é a função R ( x ) .

Passo 3

A função R ( x ) é aquela que determina o raio de cada disco transversal ao eixo x . Coincidentemente, ele é a curva que limita superiormente a nossa região. Desta forma, a função R ( x ) corresponde a nada mais e nada menos que:

R x = 9 x x 3 + 9

Já para descobrirmos os limites de integração, basta nós respondermos a seguinte pergunta: quais são os valores mínimo e máximo que x assume? Olhando para o esboço no Passo 2, fica claro que são x = 0 e x = 3 , a origem do sistema de coordenadas e a curva que limita nossa região à direita.

Passo 4

Temos todas as informações necessárias para calcularmos o volume do nosso sólido. Desta forma, temos:

V = ∫ a b π R x 2 d x

V = ∫ 0 3 π 9 x x 3 + 9 2 d x

V = π ∫ 0 3 81 x 2 x 3 + 9 d x

Para resolvermos esta integral, vamos fazer uma mudança de variáveis. Chamando u = x 3 + 9 , temos d u = 3 x 2 d x . Já em relação aos limites, quando x = 0 → u = 9 e quando x = 3 → u = 36 . Portanto, temos:

V = π ∫ 9 36 27 u d u

V = 27 π ln ⁡ u 9 36

V = 27 π ⋅ ln ⁡ 36 - ln ⁡ 9

V = 27 π ln ⁡ 36 9 = 27 π ln ⁡ 4

V = 54 π ln ⁡ 2

Resposta

V = 54 π ln ⁡ 2

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