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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 5

Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas em torno das retas especificadas. Esboce a região, o sólido e um disco ou arruela típicos.

x = 2 y ,       x = 0 ,       y = 9 ; em torno do eixo y

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A y d y

Temos que a área é representada pela figura abaixo:

Sabemos então que a = 0 e b = 9 , vamos calcular a área agora:

A y = π r 2 = π 2 y 2 = π 4 y

Onde usamos o raio como a curva limite.

Agora vamos esboçar o sólido e o disco:

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A y d y = ∫ 0 9 π 4 y d y = 4 π ∫ 0 9 y d y

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ y d y = y 1 + 1 1 + 1 + C = y 2 2 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = 4 π ∫ 0 9 y d y = 4 π y 2 2 0 9 = 4 π 9 2 2 - 0 2 2 = 4 π 81 2 = 162 π

Resposta

V = 162 π

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