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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 6.2 - Ex. 49

Encontre o volume do sólido S descrito.

Uma calota de uma esfera de raio r e altura h .

Passo 1

Podemos calcular o volume através da fórmula:

V = ∫ a b A y d y

Pela figura sabemos então que a = r - h e b = r , vamos calcular a área agora, sabemos que x 2 + y 2 = r 2 → x = r 2 - y 2 , assim:

A y = π r 2 = π r 2 - y 2 2 = π r 2 - y 2

Onde usamos o raio como a curva limite.

Pronto, agora só falta calcular o volume:

V = ∫ a b A y d y = ∫ r - h r π r 2 - y 2 d y = π ∫ r - h r r 2 - y 2 d y

Passo 2

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ r 2 - y 2 d y = r 2 y - y 3 3 + C

Passo 3

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = π ∫ r - h r r 2 - y 2 d y = π r 2 y - y 3 3 r - h r = π r 2 r - r 3 3 - r 2 r - h - r - h 3 3 = π r 3 - r 3 3 - r 3 - h r 2 - r - h 3 3 = π 2 r 3 3 - r 3 - h r 2 - r 3 - h 3 - 3 r 2 h + 3 r h 2 3 = π 2 r 3 3 - r 3 + h r 2 + r 3 - h 3 - 3 r 2 h + 3 r h 2 3 = π 2 r 3 - 3 r 3 + 3 h r 2 + r 3 - h 3 - 3 r 2 h + 3 r h 2 3 = π - h 3 + 3 r h 2 3 = π h 2 3 - h + 3 r

Resposta

V = π h 2 3 - h + 3 r

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