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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 44

No Exercício ∫ 2 s e n 2 t   . s e c 4 t   d t , use fórmulas de redução para calcular as integrais.

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

∫ 2 s e n 2 t   . s e c 4 t   d t = 2 ∫ s e n 2 t   . c o s - 4 t   d t

Para continuar desenvolvendo vamos usar outra fórmula que serve pra calcular ∫ s e n 2 t   . c o s - 4 t   d t   :

∫ s e n n a x   . c o s m a x   d x   = s e n n - 1   a x . c o s m + 1   a x a ( m + n ) + n - 1 m + n ∫ s e n   n - 2 a x . c o s   m a x   d x

Subistituindo:

2 ∫ s e n 2 t   . c o s - 4 t   d t = 2 s e n 2 - 1   t . c o s - 4 + 1   t ( - 4 + 2 ) + 2 - 1 - 4 + 2 ∫ s e n   2 - 2 t . c o s   - 4 t   d x

= 2 s e n 2 - 1   t . c o s - 4 + 1   t - 2 + 1 - 2 ∫ c o s   - 4 t   d t

= 2 . s e n 2 - 1   t . c o s - 4 + 1   t - 2 + 2 - 2 ∫ c o s   - 4 t   d t

= - s e n 2 - 1   t . c o s - 4 + 1   t   - ∫ c o s   - 4 t   d t

= - s e n   t . c o s - 3   t   - ∫ s e c   4 t   d t

Resolveremos ∫ s e c   4 t   d t usando a fórmula a seguir:

∫ s e c n   a x   d x = s e c n - 2 a x .   t g   a x a ( n - 1 )   + n - 2 n - 1 ∫ s e c n - 2 a x d x

Substituindo:

= - s e n   t . c o s - 3   t   - s e c 4 - 2 t .   t g   t 1 . ( 4 - 1 )   + 4 - 2 4 - 1 ∫ s e c 4 - 2 t d t

= - s e n   t . c o s - 3   t   - s e c 2 t .   t g   t 3   + 2 3 ∫ s e c 2 t d t

= - s e n   t . c o s - 3   t - s e c 2 t .   t g   t 3 - 2 3 ∫ s e c 2 t d t

Passo 3

Por último resolvemos ∫ s e c 2 t d t usando a fórmula:

∫ s e c 2   a x   d x = 1 a . t g   a x

= - s e n   t . c o s - 3   t - s e c 2 t .   t g   t 3 - 2 . t g   t 3 + c

Obs: adicionamos “c” que é a constante de integração

Resposta

∫ 2 s e n 2 t   . s e c 4 t   d t = - s e n   t . c o s - 3   t - s e c 2 t .   t g   t 3 - 2 . t g   t 3 + c

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