No Exercício ∫ 2 . s e c 3   π x   d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais.

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

∫ 2 . s e c 3   π x   d x = 2 ∫ s e c 3   π x   d x

Vamos usar a fórmula abaixo para continuar desenvolvendo:

∫ s e c n   a x   d x = s e c n - 2 a x .   t g   a x a ( n - 1 )   + n - 2 n - 1 ∫ s e c n - 2 a x d x

Substituindo:

= 2 ∫ s e c 3   π x   d x

= 2 s e c 3 - 2 π x .   t g   π x π ( 3 - 1 )   + 3 - 2 3 - 1 ∫ s e c 3 - 2 π x d x

= 2 s e c   π x .   t g   π x 2 π   + 1 2 ∫ s e c   π x d x

= 2 s e c   π x .   t g   π x 2 π   + 2 . 1 2 ∫ s e c   π x d x

= s e c   π x .   t g   π x π   + ∫ s e c   π x d x

Passo 3

Por último resolvemos ∫ s e c   π x d x usando a fórmula:

∫ s e c   a x   d x = 1 a . l n   s e c   a x + t g   a x

Substituindo:

= s e c   π x .   t g   π x π   + 1 π . l n   s e c   π x + t g   π x

Resposta

∫ 2 . s e c 3   π x   d x = s e c   π x .   t g   π x π   + 1 π . l n   s e c   π x + t g   π x

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