Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.7 - Ex. 25

Use o teorema do valor intermediário para mostrar que f ( x )   =   x 3   +   2 x   -   4 tem uma raiz entre   x   =   1 e x =   2 . Em seguida, determine a raiz com cinco casas decimais.

Passo 1

Utilizando o teorema do valor intermediário que nos diz que dentro de um intervalo a ,   b se tivermos um valor y 0 entre f a e f ( b ) , então, temos um ponto c dentro do intervalo tal que y 0 = f ( c ) . Além disso, com esse teorema se tivermos f a > 0   e   f b < 0 ou f a < 0   e   f b > 0 podemos encontrar um y 0 tal que f c = y 0 = 0 e , portanto, encontraremos nossa raiz. Após mostrarmos que existe uma raiz dentro desse intervalo precisamos estima-la com a precisão de 5 casas decimais utilizando o método de Newton para aproximação de raízes que é resumido pela seguinte fórmula

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Calculando o valor da nossa função nos pontos extremos do nosso intervalo vamos obter o seguinte

f x =   x 3   +   2 x   -   4

f 1 =   1 3   +   2 ⋅ 1   -   4

f 1 =   1   +   2   –   4

f 1 = - 1

f 2 =   2 3   +   2 ⋅ 2   -   4

f 2 =   8   +   4   –   4

f 2 = 8

Como f 1 < 0   e f 2 > 0 , podemos afirmar que existe um ponto intermediário tal que f x = 0 , assim, temos uma raiz dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora que sabemos que essa raiz existe vamos estimá-la utilizando o método de Newton. Primeiramente, vamos derivar a nossa função para, então, substituir na fórmula do método. Dessa forma,

f x =   x 3   +   2 x   -   4 → f ' x = 3 x 2 + 2

Pro nosso caso, vamos obter o seguinte

x n + 1 = x n - x n 3   +   2 x n   -   4 3 x n 2 + 2

Tomando x 0 = 1 temos

x 0 + 1 = x 0 - x 0 3   +   2 x 0   -   4 3 x 0 2 + 2

x 1 = 1 - 1 3   +   2 ⋅ 1   -   4 3 ⋅ 1 2 + 2

x 1 = 1 - 1   +   2   -   4 3 + 2

x 1 = 1 - -   1 5

x 1 = 1 +   1 5

x 1 = 1.2

Repetindo esse procedimento, lembrando-se sempre de utilizar sempre o termo anterior, vamos obter

x 2 = 1.17975

x 3 = 1.179 509

x 4 = 1.179509 0

Resposta

x = 1.1795090

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O valor de π pode ser obtido através da resolução das seguintes equações: s e n ( x ) = 0 c o s ( x ) + 1 = 0 Aplique o método de Newton com x 0 = 3 e precisão 1 0 - 7 em cada caso e compare os result
O polinômio p ( x ) = x 5 - 10 9 x 3 + 5 21 x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-1,1).Verifique que x 1 ∈ ( - 1 , - 0.75 ) ,x 2 ∈ ( - 0.75 , - 0.25 ) ,x 4 ∈ ( 0.3,0.8 )ex 5 ∈ ( 0.8,1 ) .
Seja f ( x ) = x e - x - e - 3 verifique gráfica e analiticamente que f(x) possui um zero no intervalo [0,1]; justifique teoricamente o comportamento da seqüência {xk} colocada a seguir, gerada pelo m
Seja a equação f ( x ) = x - x l n ( x ) = 0 . Construa tabelas como as dos exemplos do final do capítulo para a raiz positiva dessa equação. Use ϵ = 1 0 - 5 . Compare os diversos métodos considerando
Baseado no algoritmo de Newton, escreva um algoritmo para este método;Aplique na resolução da equação x 3 - 9 x + 3 = 0 , x 0 = - 1,275 , λ = 0,05 e ε = 0,05 .