Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 1 5 3 13   d x x 1 - 16 x 2

Passo 1

  1. Sabendo que a função da forma - 1 u 1 - u 2 é a derivada da função de sech - 1 ⁡ u , se fizermos u = 4 x → d u = 4   d x a gente pode reescrever assim:

- ∫ d u 4 u 4 1 - u 2 = - ∫ d u u 1 - u 2 = - sech - 1 ⁡ u + C

Agora a gente volta para a variável x , aplica os limites de integração e...

sech - 1 ⁡ u + C = - sech - 1 ⁡ 4 x ] 3 13 1 5

- sech - 1 ⁡ 12 13 + sech - 1 ⁡ 4 5

Passo 2

  1. Agora, tendo o valor de x = 12 13 e x = 4 5 , para encontrarmos o valor em termos de logaritmos naturais, basta aplicarmos a fórmula encontrada na tabela da página 430 (exercícios anteriores)...

sech - 1 ⁡ 12 13 = ln ⁡ ( 1 + 1 - 12 13 2   12 13 ) = ln ⁡ ( 1 + 5 13 12 13 ) = ln ⁡ 18 13 12 13 = ln ⁡ 18 12 = ln ⁡ 3 2

sech - 1 ⁡ 4 5 = ln ⁡ ( 1 + 1 - 4 5 2 4 5 ) = ln ⁡ ( 1 + 3 5 4 5 ) = ln ⁡ 8 5 4 5 = ln ⁡ 8 4 = ln ⁡ 2

Então...

- sech - 1 ⁡ 12 13 + sech - 1 ⁡ 4 5 =   - ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 2

Resposta

  1. - sech - 1 ⁡ 12 13 + sech - 1 ⁡ 4 5
  2. - ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 2
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