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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 71

Calcule a integral em termos de:

  1. funções hiperbólicas inversas.
  2. logaritmos naturais.

∫ 1 5 3 13   d x x 1 - 16 x 2

Passo 1

  1. Sabendo que a função da forma - 1 u 1 - u 2 é a derivada da função de sech - 1 ⁡ u , se fizermos u = 4 x → d u = 4   d x a gente pode reescrever assim:

- ∫ d u 4 u 4 1 - u 2 = - ∫ d u u 1 - u 2 = - sech - 1 ⁡ u + C

Agora a gente volta para a variável x , aplica os limites de integração e...

sech - 1 ⁡ u + C = - sech - 1 ⁡ 4 x ] 3 13 1 5

- sech - 1 ⁡ 12 13 + sech - 1 ⁡ 4 5

Passo 2

  1. Agora, tendo o valor de x = 12 13 e x = 4 5 , para encontrarmos o valor em termos de logaritmos naturais, basta aplicarmos a fórmula encontrada na tabela da página 430 (exercícios anteriores)...

sech - 1 ⁡ 12 13 = ln ⁡ ( 1 + 1 - 12 13 2   12 13 ) = ln ⁡ ( 1 + 5 13 12 13 ) = ln ⁡ 18 13 12 13 = ln ⁡ 18 12 = ln ⁡ 3 2

sech - 1 ⁡ 4 5 = ln ⁡ ( 1 + 1 - 4 5 2 4 5 ) = ln ⁡ ( 1 + 3 5 4 5 ) = ln ⁡ 8 5 4 5 = ln ⁡ 8 4 = ln ⁡ 2

Então...

- sech - 1 ⁡ 12 13 + sech - 1 ⁡ 4 5 =   - ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 2

Resposta

  1. - sech - 1 ⁡ 12 13 + sech - 1 ⁡ 4 5
  2. - ln ⁡ 3 2 + ln ⁡ 2
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Determine a derivada no Exercício d d t ∫ 0 t x 4 + 31 + x 2 d x a. calculando a integral e derivando o resultado. b. derivando a integral diretamente.
No Exercício ∫ 4 . t g 3 2 xd x , use fórmulas de redução para calcular as integrais.
No Exercício ∫ 2 . s e c 3π xd x , use fórmulas de redução para calcular as integrais.
No Exercício ∫ 8 . c o t g 4td t , use fórmulas de redução para calcular as integrais.
No Exercício ∫ 2 s e n 2 t. s e c 4 td t , use fórmulas de redução para calcular as integrais.