1-26 Calcule a integral.

14. ∫ d x x 2 x 2 + 25

Passo 1

Hum, outra integral que envolve radicais em, mas a forma como vamos simplificá-la é um pouco diferente, mas nada de mais.A forma que geralmente simplifcamos é usando a seguinte identidade: s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1  

Mas temos que modificá-la para que se pareça com x 2 + a 2 , então vamos dividir tudo por cos 2 ⁡ ( x ) , obtendo:

tan 2 ⁡ ( x ) + 1 = sec 2 ⁡ ( x )

Pois essa identidade agora se parece com x 2 + 1 e como nossa raiz é quadrada, a identidade acaba e quase perfeita para fazer a simplificação que queremos. Para que funcione perfeitamente deveriamos ter:

5 tan ⁡ θ 2 + 5 2 = 5 sec ⁡ θ 2

Que se parece mais com x 2 + 25

Passo 2

Agora vamos fazer a substituição para simplificar a integral:

x = 5 t a n θ ↔ d x = 5 sec 2 ⁡ ( θ ) d θ ,           - π 2 < θ < π 2

Substituindo, temos:

∫ d x x 2 x 2 + 25 = ∫ 5 sec 2 ⁡ θ d θ 25 t a n ² ( θ ) 25 tan 2 ⁡ θ + 25 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 5 t a n ² ( θ ) 25 ( t a n 2 θ + 1 )

Separando o produto na raiz e usando a identidade ficamos com:

1 25 ∫ sec 2 ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ ( θ ) s e c ⁡ ( θ ) = 1 25 ∫ sec ⁡ ( θ ) d θ   tan 2 ⁡ ( θ ) = 1 25 ∫ c o s θ d θ sen 2 ⁡ θ

Como essa integral é uma velha conhecida da substiuição simples, vou apenas lembrar o resultado:

1 25 ∫ cos 2 ⁡ θ d θ sen 2 ⁡ θ = - 1 25 s e n ⁡ ( θ ) + C

Passo 3

Agora tudo que precisamos fazer é voltar a variável x , e para fazer isso vamos aplicar a função inversa de tan( θ )   :

x = 5 tan ⁡ θ ↔ θ = a r c t a n ⁡ ( x 5 )

Então:

∫ d x x 2 x 2 + 25 = - 1 25 s e n ⁡ ( arctan ⁡ x 5 ) + C

Existe uma outra identidade que simplifica a expressão, mas não é uma identidade trivial. Vou deixá-la aqui para o caso de o gabarito estar diferente.

s e n ( arctan ⁡ x 5 ) = x 25 + x 2 25 + x 2

Sendo assim,

∫ d x x 2 x 2 + 25 = - 25 + x 2 25 x + C

Resposta

- 25 + x 2 25 x + C

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