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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 14

1-26 Calcule a integral.

14. int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 25))

Passo 1

Hum, outra integral que envolve radicais em, mas a forma como vamos simplificá-la é um pouco diferente, mas nada de mais.A forma que geralmente simplifcamos é usando a seguinte identidade: s e n^2 (x) + cos^2 (x) = 1

Mas temos que modificá-la para que se pareça com x^2 + a^2 , então vamos dividir tudo por cos^2 ( x ) , obtendo:

tan^2 ( x ) + 1 = sec^2 ( x )

Pois essa identidade agora se parece com x^2 + 1 e como nossa raiz é quadrada, a identidade acaba e quase perfeita para fazer a simplificação que queremos. Para que funcione perfeitamente deveriamos ter:

(5 tan (theta))^2 + 5^2 = (5 sec (theta))^2

Que se parece mais com x^2 + 25

Passo 2

Agora vamos fazer a substituição para simplificar a integral:

x = 5 t a n (theta) harr d x = 5 sec^2 ( theta ) d theta , - (pi)/(2) < theta < (pi)/(2)

Substituindo, temos:

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 25)) = int (5 sec^2 (theta) d theta)/(25 t a n ² ( theta ) sqrt(25 tan^2 (theta) + 25)) = int (sec^2 (theta) d theta)/(5 t a n ² ( theta ) sqrt(25) sqrt(( t a n^2 (theta) + 1 )))

Separando o produto na raiz e usando a identidade ficamos com:

(1)/(25) int (sec^2 (theta) d theta)/(tan^2 ( theta ) s e c ( theta )) = (1)/(25) int (sec ( theta ) d theta)/(tan^2 ( theta )) = (1)/(25) int (c o s (theta) d theta)/(sen^2 (theta))

Como essa integral é uma velha conhecida da substiuição simples, vou apenas lembrar o resultado:

(1)/(25) int (cos^2 (theta) d theta)/(sen^2 (theta)) = - (1)/(25 s e n ( theta )) + C

Passo 3

Agora tudo que precisamos fazer é voltar a variável x , e para fazer isso vamos aplicar a função inversa de tan( theta ) :

x = 5 tan (theta) harr theta = a r c t a n ( (x)/(5) )

Então:

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 25)) = - (1)/(25 s e n ( arctan ((x)/(5)) )) + C

Existe uma outra identidade que simplifica a expressão, mas não é uma identidade trivial. Vou deixá-la aqui para o caso de o gabarito estar diferente.

s e n ( arctan ((x)/(5)) ) = (x sqrt(25 + x^2))/(25 + x^2)

Sendo assim,

int (d x)/(x^2 sqrt(x^2 + 25)) = - (sqrt(25 + x^2))/(25 x) + C

Resposta

- (sqrt(25 + x^2))/(25 x) + C

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