Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 14
1-26 Calcule a integral.
14.
Passo 1
Hum, outra integral que envolve radicais em, mas a forma como vamos simplificá-la é um pouco diferente, mas nada de mais.A forma que geralmente simplifcamos é usando a seguinte identidade:
Mas temos que modificá-la para que se pareça com , então vamos dividir tudo por , obtendo:
Pois essa identidade agora se parece com e como nossa raiz é quadrada, a identidade acaba e quase perfeita para fazer a simplificação que queremos. Para que funcione perfeitamente deveriamos ter:
Que se parece mais com
Passo 2
Agora vamos fazer a substituição para simplificar a integral:
Substituindo, temos:
Separando o produto na raiz e usando a identidade ficamos com:
Como essa integral é uma velha conhecida da substiuição simples, vou apenas lembrar o resultado:
Passo 3
Agora tudo que precisamos fazer é voltar a variável , e para fazer isso vamos aplicar a função inversa de tan(:
Então:
Existe uma outra identidade que simplifica a expressão, mas não é uma identidade trivial. Vou deixá-la aqui para o caso de o gabarito estar diferente.
Sendo assim,