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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.2 - Ex. 2

Nos exercícios de 1 a 10 , calcular a integral e, em seguida, derivar as respostas para conferir os resultados.

∫ 9 t 2 + 1 t 3 d t

Passo 1

Pra resolver essas integrais de polinômio, o que a gente aprendeu é que:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1 + C

Ou seja, a integral de uma potência de t de um certo grau vai ser o t , com o grau aumentado em 1 , dividido por esse grau novo. Sacou? Isso só não serve pra quando o grau original era - 1 , porque aí o n + 1 dá 0 , e isso dá ruim, já que dividir por 0 é um crime!

Passo 2

Nossa integral vai ficar:

∫ 9 t 2 + 1 t 3 d t = ∫ 9 t 2 + t - 3 2 d t

Separando e botando a constante pra fora:

∫ 9 t 2 + 1 t 3 d t = 9 ∫ t 2 d t + ∫ t - 3 2 d t

Pra primeira integral:

9 ∫ t 2 d t = 9 t 2 + 1 2 + 1 + C 1 = 9 t 3 3 + C 1

9 ∫ t 2 d t = 3 t 3 + C 1

Pra segunda:

∫ t - 3 2 d t = t - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 + C 2

∫ t - 3 2 d t = t - 1 2 - 1 2 + C 2

∫ t - 3 2 d t = - 2 t + C 2

Juntando as duas, vamos ter duas constantes somando, que podem ser agrupadas em uma constante só.

∫ 9 t 2 + 1 t 3 d t = 3 t 3 - 2 t + C

Prontinho!

Passo 3

Agora vamos derivar a resposta. Separando em partes:

d d t 3 t 3 - 2 t + C = d d t 3 t 3 + d d t - 2 t - 1 2 + d d t C

Derivando,

d d t 3 t 3 - 2 t + C = 9 t 2 - 2 - 1 2 t - 3 2 + 0

Arrumando,

d d t 3 t 3 - 2 t + C = 9 t 2 + 1 t 3

Resposta

∫ 9 t 2 + 1 t 3 d t = 3 t 3 - 2 t + C

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