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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 16

Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.

16. y = x 2 + z 2 e y = 4 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Beleza galera !!

Vamos começar olhando z:

y 2 = x 2 + z 2

z = ± y 2 - x 2  

Então:

- y 2 - x 2 ≤ z ≤ y 2 - x 2

Analisando o x, quando z = 0 :

x 2 = y 2

x = ± y

E o intervalo:

- y ≤ x ≤ y

E o problema já nos disse que:

0 ≤ y ≤ 4

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∫ 0 4 ∫ - y y ∫ - y 2 - x 2 y 2 - x 2 d z d x d y

Vamos começar pela primeira:

= ∫ - y 2 - x 2 y 2 - x 2 d z = z = 2 y 2 - x 2

Na segunda integral:

∫ 0 4 ∫ - y y 2 y 2 - x 2 d x d y

Chamando:

x = y . s e n   ( u )

d x = y . cos ⁡ ( u ) . d u

E o novo intervalo será:

s e n   u = y y = 1 → u = π 2

s e n   u = - y y = - 1 → u = - π 2

Então:

= 2 ∫ - π 2 π 2 y 2 - y 2 . s e n 2 u ( y . cos ⁡ ( u ) . d u )

= 2 ∫ - π 2 π 2 y 2 ( 1 - s e n 2 u ) ( y . cos ⁡ ( u ) . d u )

Usando a identidade:

= 2 ∫ - π 2 π 2 y 2 cos 2 ⁡ ( u ) ( y . cos ⁡ ( u ) . d u )

= 2 ∫ - π 2 π 2 y 2 . cos 2 ⁡ ( u ) . d u

= 2 y 2 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) . d u

Lembrando que:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

Então:

= y 2 ∫ - π 2 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 u ) ) . d u

Usando uma substituição:

= y 2 u + 1 2 s e n   2 u

Aplicando o intervalo:

= y 2 π + 1 2 s e n   π - s e n   - π

= y 2 π

Passo 3

Colocando na última integral:

∫ 0 4 y 2 π d y = y 3 π 3

Aplicando o intervalo:

= 64 π 3

Tranquilinha?

Resposta

64 π 3

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