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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 13

Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.

13. z = 2 x 2 + y 2 e z = 4 - 3 x 2 - y 2 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Beleza galera !!

Pelo desenho tá fácil, não está?! O z é delimitado inferiormente por z = 2 x 2 + y 2 e superiormente por z = 4 - 3 x 2 - y 2 .

Então:

2 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 - 3 x 2 - y 2

O valor de x e y é máximo quando os dois paraboloides se encontram, não é?

Então:

2 x 2 + y 2 = 4 - 3 x 2 - y 2

x = ± 4 - 2 y 2 5

Sendo assim:

- 4 - 2 y 2 5 ≤ x ≤ 4 - 2 y 2 5

Para o y basta nós lembrarmos que:

4 - 2 y 2 5 ≥ 0

y = ± 2

Ou melhor:

- 2 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - 2 y 2 5 4 - 2 y 2 5 ∫ 2 x 2 + y 2 4 - 3 x 2 - y 2 d z d x d y

Resolvendo a primeira integral:

∫ 2 x 2 + y 2 4 - 3 x 2 - y 2 d z = z = 4 - 3 x 2 - y 2 - 2 x 2 - y 2

= 4 - 5 x 2 - 2 y 2

Sendo assim:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - 2 y 2 5 4 - 2 y 2 5 4 - 5 x 2 - 2 y 2 d x d y

Nesta segunda integral teremos:

∫ - 4 - 2 y 2 5 4 - 2 y 2 5 4 - 5 x 2 - 2 y 2 d x = 4 x - 5 x 3 3 - 2 y 2 x

= 8 4 - 2 y 2 5 1 2 - 4 y 2 4 - 2 y 2 5 1 2 - 10 3 4 - 2 y 2 5 3 2

Substituindo na última integral:

= ∫ - 2 2 8 4 - 2 y 2 5 1 2 - 4 y 2 4 - 2 y 2 5 1 2 - 10 3 4 - 2 y 2 5 3 2 d y

= ∫ - 2 2 8 5 4 - 2 y 2 1 2 - 4 y 2 5 4 - 2 y 2 1 2 - 2 3 5 4 - 2 y 2 3 2 d y

Agora vamos resolver cada uma separadamente!!

Passo 3

Começando por:

8 5 ∫ - 2 2 4 - 2 y 2 1 2 d y

Para resolver vamos chamar:

y = 2 . s e n   ( u )

d y = 2 cos ⁡ ( u ) . d u

O novo intervalo será:

u = π 2

u = - π 2

= ∫ - π 2 π 2 4 - 4 . s e n 2 ( u ) 1 2 ( 2 cos ⁡ ( u ) . d u )

= ∫ - π 2 π 2 4 ( 1 - s e n 2 u ) 1 2 ( 2 cos ⁡ ( u ) . d u )

Usando a identidade:

= 2 2 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) d u

Sabendo que:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

Então:

= 2 ∫ - π 2 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 u ) ) d u

Por substituição simples:

= 2 u + 1 2 s e n   2 u

No intervalo:

= 2 π + 1 2 s e n   π - s e n   - π

Sendo assim:

8 5 ∫ - 2 2 4 - 2 y 2 1 2 d y = 8 5 × 2 π

Passo 4

Agora na segunda:

= 4 5 ∫ - 2 2 y 2 4 - 2 y 2 1 2 d y

Vamos chamar novamente:

y = 2 . s e n   ( u )

d y = 2 cos ⁡ ( u ) . d u

O novo intervalo será:

u = π 2

u = - π 2

= ∫ - π 2 π 2 ( 2 . s e n 2 ( u ) 4 - 4 . s e n 2 ( u ) 1 2 ( 2 cos ⁡ ( u ) . d u )

= 2 2 ∫ - π 2 π 2 s e n 2 ( u ) 4 ( 1 - s e n 2 u ) 1 2 ( cos ⁡ ( u ) . d u )

Usando a identidade anterior:

= 4 2 ∫ - π 2 π 2 s e n 2 u . cos 2 ⁡ ( u ) d u

E lembrando que:

s e n 2 u . cos 2 ⁡ ( u ) = 1 - cos ⁡ ( 4 u ) 8

Então:

= 2 2 ∫ - π 2 π 2 1 - cos ⁡ ( 4 u ) d u

Usando novamente a substituição:

= 2 2 u - 1 4 s e n   4 u

No intervalo:

= 2 2 π + 1 2 s e n   2 π - s e n   - 2 π

Sendo assim:

∫ - 2 2 4 y 2 5 4 - 2 y 2 1 2 d y = 4 5 × 2 π 2

Passo 5

Na última temos:

∫ - 2 2 ( 8 - 4 y 2 ) 3 5 4 - 2 y 2 1 2 d y = ∫ - 2 2 8 3 5 4 - 2 y 2 1 2 d y - ∫ - 2 2 4 y 2 3 5 4 - 2 y 2 1 2 d y

Pelos passos 3 e 4:

= 8 3 5 × 2 π - 4 3 5 × 2 π 2

Substituindo na integral do Passo 2:

∫ - 2 2 8 5 4 - 2 y 2 1 2 - 4 y 2 5 4 - 2 y 2 1 2 - 2 3 5 4 - 2 y 2 3 2 d y

= 8 2 π 5 - 2 2 π 5 - 8 2 π 3 5 - 2 2 π 3 5

= 6 2 π 5 - 6 2 π 3 5 = 12 2 π 3 5

= 4 2 π 5

Racionalizando:

= 4 10 π 5

Tranquila?

Resposta

4 10 π 5

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