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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.9 - Ex. 17

Nos exercícios 11 a 19, calcular o volume do sólido delimitado pelas superfícies dadas.

17. x 2 + y 2 + 2 y = 0 ; z = 0 e z = 4 + y .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar, certo?

Beleza galera !!

Pelo desenho conseguimos ver que o z é limitado por z = 0 e pelo plano, ok ?!

0 ≤ z ≤ 4 + y

O x e o y são delimitados pelo cilindro, isolando o y:

y 2 + 2 y + x 2 = 0

Usando Báskara:

y = - 2 ± 4 - 4 x 2 2 = - - 2 ± 2 1 - x 2 2

y = - 1 ± 1 - x 2

Sendo assim:

- 1 - 1 - x 2 ≤ y ≤ - 1 + 1 - x 2

Então, obrigatoriamente:

1 - x 2 ≥ 0

x 2 ≤ ± 1

Então nosso intervalo será:

- 1 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T d V = ∫ - 1 1 ∫ - 1 - 1 - x 2 - 1 + 1 - x 2 ∫ 0 4 + y d z d y d x

Resolvendo a primeira integral:

∫ 0 4 + y d z = z = 4 + y

Então:

∫ - 1 1 ∫ - 1 - 1 - x 2 - 1 + 1 - x 2 4 + y d y d x

Agora vamos para a segunda:

∫ - 1 - 1 - x 2 - 1 + 1 - x 2 4 + y d y = 8 1 - x 2 + ( - 1 + 1 - x 2 ) 2 2 - ( - 1 - 1 - x 2 ) 2 2

= 8 1 - x 2 + ( 1 - x 2 - 2 1 - x 2 + 1 ) - ( 1 - x 2 + 2 1 - x 2 + 1 ) 2

= 8 1 - x 2 + ( 2 - x 2 - 2 1 - x 2 ) - ( 2 - x 2 + 2 1 - x 2 ) 2

= 8 1 - x 2 - 4 1 - x 2 2

= 8 1 - x 2 - 2 1 - x 2

= 6 1 - x 2

Passo 3

Colocando na última:

∫ - 1 1 6 1 - x 2 d x

Chamando:

x = s e n ( u )

d x = cos ⁡ ( u ) . d u

O novo intervalo será:

s e n   u = 1 → u = π 2

s e n   u = - 1 → u = - π 2

= ∫ - π 2 π 2 6 1 - s e n 2 u ( cos ⁡ ( u ) . d u )

Aplicando a identidade:

= ∫ - π 2 π 2 6 c o s 2 u ( cos ⁡ ( u ) . d u )

= 6 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ ( u ) . d u

Lembrando que:

cos 2 ⁡ ( u ) = 1 + cos ⁡ ( 2 u ) 2

Então:

= 3 ∫ - π 2 π 2 [ 1 + cos ⁡ ( 2 u ) ] . d u

Aplicando uma substituição:

= 3 u + 1 2 s e n   u

= 3 π + 1 2 s e n   π - s e n   - π

= 3 π

Gostaram?

Resposta

3 π

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