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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 7

Sejam B ⊂ R 3 e f x , y , z uma função contínua em B . Seja ( x 0 , y 0 , z 0 ) um ponto interior de B . Para cada natural n , seja B n uma bola de centro x 0 , y 0 , z 0 e raio r n , com B n ⊂ B . Suponha que r n tende a zero quando n tende a + ∞ . Seja V n o volume de B n . Prove que

lim n → + ∞ ⁡ 1 V n ∭ B n f x , y , z d x d y d z = f x 0 , y 0 , z 0

Sugestão: Utilize o Teorema do valor médio para integrais.

Passo 1

Tome o teorema do valor médio para integrais na qual, temos que

∫ a b f x d x = f ( z ) ( b - a )

Passo 2

Assim temos que

∭ B n f x , y , z d x d y d z = f x , y , z V n

Desta forma temos

lim n → + ∞ ⁡ 1 V n ∭ B n f x , y , z d x d y d z = lim n → + ∞ ⁡ f x , y , z

E agora tome que, quando n → + ∞ , r n → 0 , ou seja, nosso conjunto B n tende ao centro da nossa esfera, definida em x 0 , y 0 , z 0 . Logo

lim n → + ∞ ⁡ f x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0

era de se acreditar que seria um exercício difícil, mas só precisávamos aplicar o teorema do valor médio para integrais e aplicar as condições propostas pelo exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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