Sejam B ⊂ R^3 e f(x, y, z) uma função contínua em B . Seja (x_0, y_0, z_0) um ponto interior de B . Para cada natural n , seja B_n uma bola de centro (x_0, y_0, z_0) e raio r_n , com B_n ⊂ B . Suponha que r_n tende a zero quando n tende a + infinito . Seja V_n o volume de B_n . Prove que

lim n → + ∞ ⁡ 1 V n ∭ B n f x , y , z d x d y d z = f x 0 , y 0 , z 0

Sugestão: Utilize o Teorema do valor médio para integrais.

Passo 1

Tome o teorema do valor médio para integrais na qual, temos que

∫ a b f x d x = f ( z ) ( b - a )

Passo 2

Assim temos que

∭ B n f x , y , z d x d y d z = f x , y , z V n

Desta forma temos

lim n → + ∞ ⁡ 1 V n ∭ B n f x , y , z d x d y d z = lim n → + ∞ ⁡ f x , y , z

E agora tome que, quando n → + ∞ , r n → 0 , ou seja, nosso conjunto B n tende ao centro da nossa esfera, definida em x 0 , y 0 , z 0 . Logo

lim n → + ∞ ⁡ f x , y , z = f x 0 , y 0 , z 0

era de se acreditar que seria um exercício difícil, mas só precisávamos aplicar o teorema do valor médio para integrais e aplicar as condições propostas pelo exercício.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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