Sejam e uma função contínua em . Seja um ponto interior de . Para cada natural , seja uma bola de centro e raio , com . Suponha que tende a zero quando tende a . Seja o volume de . Prove que
Sugestão: Utilize o Teorema do valor médio para integrais.
Passo 1
Tome o teorema do valor médio para integrais na qual, temos que
Passo 2
Assim temos que
Desta forma temos
E agora tome que, quando , , ou seja, nosso conjunto tende ao centro da nossa esfera, definida em . Logo
era de se acreditar que seria um exercício difícil, mas só precisávamos aplicar o teorema do valor médio para integrais e aplicar as condições propostas pelo exercício.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)