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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.7 - Ex. 17

Calcular ∭_T^() ( x ) . d V , onde T é a região limitada por x^2 + ( y - 3 )^2 + ( z - 3 )^2 = 9 .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

A nossa esfera é limitada por x^2 + ( y - 3 )^2 + ( z - 2 )^2 = 9 .

Bom galera, neste exercício eu optei por fazer normalmente, sem usar coordenadas cilíndricas ou esféricas, ok?

Começando por z, ele é delimitado pela esfera e para acha-lo basta nós isolarmos ele da equação:

x^2 + ( y - 3 )^2 + ( z - 3 )^2 = 9

( z - 3 )^2 = 9 - x^2 - ( y - 3 )^2

z - 3 = +- sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)

z = 3 +- sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)

Então z estará entre:

3 - sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2) <= z <= 3 +- sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)

Agora vamos olhar o y!!

Quando o termo z - 2 for igual a zero, nós teremos o valor máximo para as coordenadas x e y, não é?

Colocando na fórmula:

x^2 + ( y - 3 )^2 = 9

E isolando y:

( y - 3 )^2 = 9 - x^2

y - 3 = +- sqrt(9 - x^2)

y = 3 +- sqrt(9 - x^2)

Legal!! Já achamos o intervalo de y:

3 - sqrt(9 - x^2) <= y <= 3 + sqrt(9 - x^2)

Agora só precisamos de x, e para acha-lo vamos nos atentar ao termo dentro da raiz:

9 - x^2 >= 0

x <= +- 3

Em forma de intervalo:

- 3 <= x <= 3

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭_T^() x . d V = ∬_R^() [int_(3 - sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2))^(3 + sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)) d z] d y . x . d x

Resolvendo:

int_(3 - sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2))^(3 + sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)) d z = z

= 3 + sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2) - 3 + sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)

= 2 sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)

Aplicando na integral:

= int_(- 3)^3 [ int_(3 - sqrt(9 - x^2))^(3 + sqrt(9 - x^2)) (2 sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)) d y ] x . d x

Resolvendo a integral:

int_(3 - sqrt(9 - x^2))^(3 + sqrt(9 - x^2)) (2 sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)) d y = 2 int_(3 - sqrt(9 - x^2))^(3 + sqrt(9 - x^2)) (sqrt(9 - x^2 - ( y - 3 )^2)) d y

Vamos começar chamando:

u = y - 3

d u = d y

Mudando o intervalo:

u = sqrt(9 - x^2)

u = - sqrt(9 - x^2)

= 2 int_(- sqrt(9 - x^2))^(sqrt(9 - x^2)) (sqrt(9 - x^2 - u^2)) d u

Ainda vamos precisar de mais uma substituição:

u = sqrt(9 - x^2) . s e n ( v )

d u = sqrt(9 - x^2) . c o s ( v ) d v

Novo intervalo, não é?

s e n (v) = 1 -> v = (pi)/(2)

s e n (v) = - 1 -> v = - (pi)/(2)

= 2 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (sqrt((9 - x^2) - (9 - x) s e n^2 (v))) ( sqrt(9 - x^2) . c o s ( v ) d v )

= 2 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (sqrt((9 - x^2) ( 1 - s e n^2 (v))) ( sqrt(9 - x^2) . c o s ( v ) d v )

Usando a identidade:

= 2 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (sqrt((9 - x^2) ( c o s^2 (v))) ( sqrt(9 - x^2) . c o s ( v ) d v )

= 2 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos ( v ) (sqrt((9 - x^2))) ( sqrt(9 - x^2) . c o s ( v ) d v )

= 2 int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (9 - x^2) cos^2 ( v ) d v

Como o x aqui é constante:

= 2 (9 - x^2) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos^2 ( v ) d v

Para finalizar nós precisamos lembrar que:

cos^2 ( v ) = (1 + cos ( 2 v ))/(2)

= (9 - x^2) int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) ( 1 + cos ( 2 v ) ) d v

= (9 - x^2) [v + int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) cos (2 v) d v]

Esta nova integral nós usamos uma substituição também, certinho?

= (9 - x^2) [v + (1)/(2) s e n ( 2 v )]

Aplicamos o intervalo:

= (9 - x^2) [((pi)/(2) - (- (pi)/(2))) + (1)/(2) ( s e n (2 (pi)/(2)) - s e n (- 2 (pi)/(2))]

= (9 - x^2) pi

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= int_(- 3)^3 (9 - x^2) pi . x . d x

= pi int_(- 3)^3 x ( 9 - x^2 ) . d x

Aplicamos a famosa substituição:

u = 9 - x^2

d u = - 2 x d x -> - (d u)/(2) = x . d x

Na integral:

= pi int_(- 3)^3 u . (- (d u)/(2))

= - (pi)/(2) int_(- 3)^3 u . d u = - (pi)/(2) . (u^2)/(2)

Voltando para o x:

= - (pi)/(2) . (( 9 - x^2 )^2)/(2)

Aplicamos o intervalo:

= - (pi)/(2) . [((9 - 3^2)^2)/(2) - ((9 - (- 3)^2)^2)/(2)]

= 0

E terminamos mais umaa !

Resposta

0

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