Calcular ∭ T ( x ) . d V , onde T é a região limitada por x^2 + (y-3)^2 + (z-3)^2 = 9

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

A nossa esfera é limitada por x 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 2 ) 2 = 9 .

Bom galera, neste exercício eu optei por fazer normalmente, sem usar coordenadas cilíndricas ou esféricas, ok?

Começando por z, ele é delimitado pela esfera e para acha-lo basta nós isolarmos ele da equação:

x 2 + ( y - 3 ) 2 + ( z - 3 ) 2 = 9

( z - 3 ) 2 = 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2

z - 3 = ± 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2

z = 3 ± 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2

Então z estará entre:

3 - 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 ≤ z ≤ 3 ± 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2

Agora vamos olhar o y!!

Quando o termo z - 2 for igual a zero, nós teremos o valor máximo para as coordenadas x e y, não é?

Colocando na fórmula:

x 2 + ( y - 3 ) 2 = 9

E isolando y:

( y - 3 ) 2 = 9 - x 2

y - 3 = ± 9 - x 2

y = 3 ± 9 - x 2

Legal!! Já achamos o intervalo de y:

3 - 9 - x 2 ≤ y ≤ 3 + 9 - x 2

Agora só precisamos de x, e para acha-lo vamos nos atentar ao termo dentro da raiz:

9 - x 2 ≥ 0

x ≤ ± 3

Em forma de intervalo:

- 3 ≤ x ≤ 3

Passo 2

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

∭ T x . d V = ∬ R ∫ 3 - 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 3 + 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 d z d y . x . d x

Resolvendo:

∫ 3 - 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 3 + 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 d z = z

= 3 + 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 - 3 + 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2

= 2 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2

Aplicando na integral:

= ∫ - 3 3 [ ∫ 3 - 9 - x 2 3 + 9 - x 2 2 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 d y ] x . d x    

Resolvendo a integral:

∫ 3 - 9 - x 2 3 + 9 - x 2 2 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 d y = 2 ∫ 3 - 9 - x 2 3 + 9 - x 2 9 - x 2 - ( y - 3 ) 2 d y

Vamos começar chamando:

u = y - 3

d u = d y

Mudando o intervalo:

u = 9 - x 2

u = - 9 - x 2

= 2 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 9 - x 2 - u 2 d u

Ainda vamos precisar de mais uma substituição:

u = 9 - x 2 . s e n   ( v )

d u = 9 - x 2 . c o s   ( v ) d v

Novo intervalo, não é?

s e n   v = 1 → v = π 2

s e n   v = - 1 → v = - π 2

= 2 ∫ - π 2 π 2 9 - x 2 - 9 - x s e n 2 v ( 9 - x 2 . c o s   ( v ) d v )

= 2 ∫ - π 2 π 2 9 - x 2 ( 1 - s e n 2 v ( 9 - x 2 . c o s   ( v ) d v )

Usando a identidade:

= 2 ∫ - π 2 π 2 9 - x 2 ( c o s 2 v ( 9 - x 2 . c o s   ( v ) d v )

= 2 ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ ( v ) 9 - x 2 ( 9 - x 2 . c o s   ( v ) d v )

= 2 ∫ - π 2 π 2 9 - x 2 cos 2 ⁡ ( v ) d v

Como o x aqui é constante:

= 2 9 - x 2 ∫ - π 2 π 2 cos 2 ⁡ ( v ) d v

Para finalizar nós precisamos lembrar que:

cos 2 ⁡ ( v ) = 1 + cos ⁡ ( 2 v ) 2

= 9 - x 2 ∫ - π 2 π 2 ( 1 + cos ⁡ ( 2 v ) ) d v

= 9 - x 2 v + ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ 2 v d v

Esta nova integral nós usamos uma substituição também, certinho?

= 9 - x 2 v + 1 2 s e n   ( 2 v )

Aplicamos o intervalo:

= 9 - x 2 π 2 - - π 2 + 1 2 ( s e n   2 π 2 - s e n   - 2 π 2

= 9 - x 2 π

Passo 3

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

= ∫ - 3 3 9 - x 2 π   . x . d x      

= π ∫ - 3 3 x ( 9 - x 2 ) . d x  

Aplicamos a famosa substituição:

u = 9 - x 2

d u = - 2 x d x →   - d u 2 = x . d x

Na integral:

= π ∫ - 3 3 u . - d u 2

= - π 2 ∫ - 3 3 u . d u = - π 2 . u 2 2

Voltando para o x:

= - π 2 . ( 9 - x 2 ) 2 2

Aplicamos o intervalo:

= - π 2 . 9 - 3 2 2 2 - 9 - - 3 2 2 2

= 0

E terminamos mais umaa !

Resposta

0

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