Calcular ∭_T^() ( x ) . d V , onde T é a região limitada por x^2 + ( y - 3 )^2 + ( z - 3 )^2 = 9 .

Enunciado

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é tentar desenhar:

A nossa esfera é limitada por

Bom galera, neste exercício eu optei por fazer normalmente, sem usar coordenadas cilíndricas ou esféricas, ok?

Começando por z, ele é delimitado pela esfera e para acha-lo basta nós isolarmos ele da equação:

Então z estará entre:

Agora vamos olhar o y!!

Quando o termo for igual a zero, nós teremos o valor máximo para as coordenadas x e y, não é?

Colocando na fórmula:

E isolando y:

Legal!! Já achamos o intervalo de y:

Agora só precisamos de x, e para acha-lo vamos nos atentar ao termo dentro da raiz:

Em forma de intervalo:

Agora que já sabemos os intervalos de integração:

Resolvendo:

Aplicando na integral:

Resolvendo a integral:

Vamos começar chamando:

Mudando o intervalo:

Ainda vamos precisar de mais uma substituição:

Novo intervalo, não é?

Usando a identidade:

Como o x aqui é constante:

Para finalizar nós precisamos lembrar que:

Esta nova integral nós usamos uma substituição também, certinho?

Aplicamos o intervalo:

Agora vamos colocar o resultado do passo 2 na equação:

Aplicamos a famosa substituição:

Na integral:

Voltando para o x:

Aplicamos o intervalo:

E terminamos mais umaa !