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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-10, determine o con1primento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são.

4-

x = y 3 2 3 - y 1 2               d e                 y = 1   a   y = 9

Passo 1

A equação do comprimento de um arco formada por uma função que está em relação a x é:

s = ∫ 1 + d x d y 2   d y

Fazendo a derivada em relação a y f a função temos:

d x d y = 3 2 y 1 2 3 - 1 2 y - 1 2 = y 2 - 1 2 y = y - 1 2 y

Elevando-se ao quadrado:

d x d y 2 = y 2 - 2 y + 1 4 y

Passo 2

Agora aplicando na integral:

s = ∫ 0 9 1 + y 2 - 2 y + 1 4 y   d y

Arrumando a equação temos:

s = ∫ 1 9 y 2 + 2 y + 1 4 y d y = 1 2 ∫ 1 9 y 2 + 2 y + 1 y d y = 1 2 ∫ 1 9 y + 1 y 2 d y

s = 1 2 ∫ 1 9 y + 1 y   d y = 1 2 ∫ 1 9 y + 1 y d y

Passo 3

Fazendo finalmente a integral temos:

s = 1 2 2 3 y 3 2 + 2 y 1 2 1 9

Aplicando a integral temos:

s = 1 2 2 3 9 3 2 + 2 9 - 2 3 - 2 = 1 2 2 3 × 27 + 2 × 3 - 8 3 = 32 3

Resposta

32 3

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