Use a fórmula do comprimento de arco do Exercício 26 para encontrar o comprimento de arco da curva.

x = 1 / 3 * t^3, y = 1 / 2 * t^2 0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

E aí, tudo joia?

A gente vai usar essa fórmula aqui ó:

∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t

Então, a gente vai derivar cada uma em função de t . Bora lá!

Passo 2

A gente tem que:

d x d t = 3 1 3 t 2 = t 2  

d y d t = 2 1 2 t = t

Aí a gente joga na fórmula:

L = ∫ 0 1 t 2 2 + t 2   d t

L = ∫ 0 1 t 4 + t 2   d t

Agora vamos dar uma sacada aqui ó:

L = ∫ 0 1 t 2 t 2 + 1   d t

L = ∫ 0 1 t   t 2 + 1   d t

Passo 3

Vamos fazer uma substituiçãozinha aqui:

u = t 2 + 1

d u = 2 t   d t → d u 2 = t   d t

L = ∫ u   d u = 2 3 u 3 2

Agora a gente volta para a variável t ...

L = 2 3 t 2 + 1 3 2 0 1

L = 2 3 2 3 2 - 1 3 2

L = 2 3 2 2 - 1

E prontinho! Achamos o comprimento da curva😉

Resposta

L = 2 3 2 2 - 1

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