Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

8- A base de um sólido é a região limitada pelos gráficos de y = raiz(x) e y = x / 2 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x são:

  1. Triângulo isósceles de altura 6

Passo 1

Igualando as duas equações conseguimos encontrar os pontos onde elas se encontram

x = x 2

A resposta trivial é em x = 0 , mas elevando os dois ao quadrado e fazendo x ≠ 0 encontramos:

x = x 2 4

1 = x 4 → x = 4

Logo nosso intervalo vai de 0 a 4 para x

O que dá nosso gráfico abaixo para a base:

Passo 2

A área de um triângulo isósceles pode ser dada por:

A = 1 2   b a s e × a l t u r a

Como a base é a diferença entre os gráficos e altura é fixa igual a 6 então temos:

A = 1 2 x - x 2 × 6

Logo temos nossa área igual a:

A = 3 x - x 2

Passo 3

Para x nossa região limita-se ente 0 e 4 e se integrarmos a área acharemos o volume da região.

V = 3 ∫ 0 4 x - x 2 d x

Aplicando a integral encontramos:

V = 3 x 3 2 3 2 - x 2 4 0 4

V = 3 2 3 x 3 2 - x 2 4 0 4

Substituindo temos:

V = 3 2 3 4 3 2 - 4 2 4 - 0

O que dá:

V = 3 2 3 × 8 - 4 = 4

Resposta

V = 4

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