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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.1 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-10, determine os volumes dos sólidos.

3-

O sólido está situado entre planos perpendiculares ao eixo x em x = - 1 e x = 1 . As seções transversais perpendiculares ao eixo x entre esses planos são quadrados cujas bases se estendem do semicírculo y = - 1 - x 2 ao semicírculo y = 1 - x 2

Passo 1

Para ajudar no entendimento um desenho sempre é válido:

Onde a questão diz com outras palavras que temos vários quadrados que percorrem um círculo de modo que uma resta aumente o seu lado como indo do quadrado azul para o laranja.

E temos que a área do quadrado de lado A é:

A = a 2

Passo 2

O nosso cálculo precisa estar em função de x então podemos dizer que a aresta do quadrado é a distância entre um semicírculo para outro.

A = 1 - x 2 - ( - 1 - x 2 2

Logo:

A = 2 1 - x 2 2 = 4 ( 1 - x 2 )

Passo 3

Como o quadrado faz esse percurso indo do ponto x = - 1 ao x = 1 temos que a integral nesse intervalo nos dá o volume nesse mesmo intervalo:

V = ∫ - 1 1 4 1 - x 2

Logo:

V = 4 x - x 3 3 - 1 1

V = 4 1 - 1 3 - 4 - 1 - - 1 3

V = 4 2 3 - 4 - 1 + 1 3

V = 8 3 - 4 - 2 3

V = 8 3 + 8 3 = 16 3

Resposta

V = 16 3

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