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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.1 - Ex. 16

Nos Exercícios 11-18, determine o coeficiente angular do gráfico da função em um ponto dado. Em seguida, determine uma equação para a reta tangente ao gráfico naquele ponto.

h t = t 3 + 3 t ,       ( 1,4 )

Passo 1

Relembrando a equação para determinar o coeficiente angular da curva no ponto dado:

m = lim x → 0 ⁡ h t 0 + x - h t 0 x

Passo 2

Substituindo a função h t na equação acima:

m = lim x → 0 ⁡ t + x 3 + 3 ( t + x ) - t 3 + 3 t x

m = lim x → 0 ⁡ t + x 3 + 3 t + 3 x - t 3 - 3 t x

m = lim x → 0 ⁡ t + x 3 + 3 x - t 3 x

Substituindo x = 0 , vemos que não adianta muito.

m = lim x → 0 ⁡ t + x 3 + 3 x - t 3 x = t + 0 3 + 3 ∙ 0 - t 3 0 = 0 0

Aí temos que fazer algumas mexidas para sair desse problema. Vamos começar abrindo o termo t + x 3 , lembrando que a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3 :

m = lim x → 0 ⁡ t 3 + 3 t 2 x + 3 t x 2 + 3 x - t 3 x

m = lim x → 0 ⁡ 3 t 2 x + 3 t x 2 + 3 x x

Passo 3

Em seguida cortamos o termo h , ok?

m = lim h → 0 ⁡ 3 t 2 + 3 t x + 3 = 3 t 2 + 3 t ∙ 0 + 3 = 3 t 2 + 3

Agora vamos substituir o valor de t dado:

m = 3 ∙ 1 2 + 3 = 6

Passo 4

Lembrando da equação da tangente

y - h a = m t - a

Agora devemos substituir o valor encontrado de m .

y - 4 = 6 t - 1

Resposta

m = 6

y - 4 = 6 x - 1

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