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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 12

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região limitada pelas parábolas y = 2 x 2 - 4 x e y = 2 x - x 2 .

Passo 1

As duas funções encontram-se em:

2 x 2 - 4 x = 2 x - x 2

Por todas as parcelas conterem x logo x = 0 é uma resposta. Dividindo tudo por x teremos:

2 x - 4 = 2 - x

3 x = 6

x = 2

Logo a região estão em x = 0 a x = 2 .

Para saber qual função está acima de qual nesse intervalo vamos aplicar um ponto intermediário, como x = 1 .

f 1 = 2 x 2 - 4 x = 2 - 4 = - 2

f 1 = 2 x - x 2 = 2 - 1 = 1

Logo a função 2 x - x 2 está acima de 2 x 2 - 4 x .

Plotando nossos gráficos temos:

Poderemos dizer que x - = 1 pela simetria do gráfico mas vamos calcular-lo também.

Passo 2

Fazendo o comprimento da linha vertical temos:

L = 2 x - x 2 - 2 x 2 - 4 x = - 3 x 2 + 6 x

Como a largura é d x então sua área será:

d A = ( - 3 x 2 + 6 x ) d x

Logo a massa é:

d A = δ - 3 x 2 + 6 x d x

Seu x médio é:

x m = x

Seu y médio será:

y m = 2 x - x 2 + ( 2 x 2 - 4 x ) 2 = x 2 - 2 x 2

Passo 3

Precisamos calcular x - e y -   que são dadas pelas fórmulas abaixo.

x - = M y M = ∫ x m   d m ∫ d m

y - = M x M = ∫ y m   d m ∫ d m

Calculando M temos:

M = δ ∫ 0 2 - 3 x 2 + 6 x d x = 3 δ - x 3 3 + 2 x 2 2 0 2 = 3 δ - 8 3 + 4 = 4 δ

Calculando M x :

M x = 3 δ 2 ∫ 0 2 x 2 - 2 x - x 2 + 2 x d x

M x = 3 δ 2 ∫ 0 2 - x 4 + 2 x 3 + 2 x 3 - 4 x 2 d x

M x = 3 δ 2 - x 5 5 + 4 x 4 4 - 4 x 3 3 0 2 = 3 δ 2 - 32 5 + 16 - 32 3 = - 8 5 δ

Calculando M y :

M y = 3 δ ∫ 0 2 x - x 2 + 2 x d x → 3 δ ∫ 0 2 - x 3 + 2 x 2 d x → 3 δ - x 4 4 + 2 x 3 3 0 2

Calculando:

M y = 3 δ - 4 + 16 3 = 4 δ

Passo 4

Calculando x - .

x - = M y M = 4 δ 4 δ = 1

Calculando y - :

y - = M x M = - 8 5 δ 4 δ = - 2 5

Resposta

Centro de massa:

x - , y - = 1 ,   - 2 5

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