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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.6 - Ex. 13

Nos Exercícios 1-14, determine o centro de massa de uma placa fina de densidade constante δ que abranja a região dada.

  1. A região entre a curva y = 1 / x e o eixo x de x = 1 a x = 16 .

Passo 1

A curva tem a seguinte cara:

Passo 2

O comprimento vertical dessa função tem:

L = 1 x

Como a largura dessa linha tem largura igual a d x , logo sua área é de:

d A = 1 x d x

E sua massa:

d m = δ 1 x d x

Seu y médio será de:

y m = 1 2 x

E seu x médio:

x m = x

Passo 3

Calculando M :

M = ∫ 1 16 δ x - 1 2 d x = δ 2 x 1 2 1 16 = δ 2 × 4 - 2 = 6 δ

Calculando M x :  

M x = δ 2 ∫ 1 16 1 x 1 x = δ 2 ∫ 1 16 1 x

M x = δ 2 [ ln ⁡ x ] 1 16 = δ ln ⁡ 16 2

Calculando M y :

M y = δ ∫ 1 16 x x d x = δ ∫ 1 16 x × x - 1 2 = δ ∫ 1 16 x 1 2

M y = δ 2 3 x 3 2 1 16 = δ 2 3 64 - 2 3 = 42 δ

Passo 4

Calculando y - .

y - = M x M = δ ln ⁡ 16 2 6 δ = ln ⁡ 16 12

Calculando x - :

x - = 42 δ 6 δ = 7

Resposta

x - , y - = 7 , ln ⁡ 16 12

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Esboce a região delimitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y . Desenhe um retângulo aproximante típico e coloque sua altura e largura. Então, calcule a área da região. y
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