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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 30

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = ln ⁡ ( ln ⁡ ( ln ⁡ x ) )

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia

Passo 2

Aqui temos que a nossa função é uma função composta de uma função composta!

Calma, a ideia é eu f x = ln ⁡ x e g x = ln ⁡ x   daí eu faço a função h x = f g x = l n ⁡ ( ln ⁡ x ) . Depois eu pego essa função e pego s x = ln ⁡ x e faço y x = s ( h x ) . Pela regra da cadeia, vamos ter primeiro que:

y ' x = s ' h x ⋅ h ' ( x )

Agora a derivada de h x = f ( g x ) também vai precisar da regra da cadeia. Vem comigo:

h ' x = f ' g x ⋅ g ' x

Então juntando tudo, temos que

y ' x = s ' h x ⋅ f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Precisamos agora calcular as derivadas de s ,   f e de g . Nesse caso, elas vão ser iguais a:

s ' x = f ' x = g ' x = 1 x

Passo 4

Vamos com calma juntando as peças aos poucos. Primeiro temos que h x = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) , logo

s ' h x = 1 ln ⁡ ln ⁡ x

Agora temos que g x = ln ⁡ x ,   então

f ' g x = 1 ln ⁡ x

Juntando tudo então

y ' x = s ' h x ⋅ f ' g x ⋅ g ' x = 1 ln ⁡ ln ⁡ x ⋅ 1 ln ⁡ x ⋅ 1 x = 1 x ( ln ⁡ x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x )

Resposta

y ' = 1 x ( ln ⁡ x ) ln ⁡ ( ln ⁡ x )

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Calcule.j) a r cs e n - 3 2
Verifique quea) cos ⁡ a r cs e nx = 1 - x 2