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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 23

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = x 4 4 ln ⁡ x - x 4 16

Passo 1

Primeiro vamos derivar a expressão dada lembrando que a derivada da subtração é a subtração das derivadas, ou seja

y = f - g → y ' = f ' - g '

Então

y ' = x 4 4 ln ⁡ x ' - x 4 16 '

y ' = x 4 4 ln ⁡ x ' - x 3 4

Passo 2

Para derivar o termo entre parênteses vamos usar a regra do produto.

Aqui temos um produto entre a função h x = x 4 4 e w x = ln ⁡ x . Logo, pela regra do produto temos que

y ' = h ' x w x + w ' x h x - x 3 4

Passo 3

Agora precisamos determinar h ' e w ' . A primeira é uma derivada clássica

h ' x = x 3

A segunda também é uma derivada clássica

w ' x = 1 x

Passo 4

Temos então pela expressão do passo 2 acima que

y ' = h ' x w x + w ' x h x - x 3 4 = x 3 ln ⁡ x + 1 x x 4 4 - x 3 4 = x 3 ln ⁡ x + x 3 4 - x 3 4 = x 3 ln ⁡ x

Resposta

y ' = x 3 ln ⁡ x

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