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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 22

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = t ln ⁡ t

Passo 1

Ao derivar temos que tomar muito cuidado para ver se não tem uma função dentro da outra (função composta). Se tiver precisamos usar a regra da cadeia!

Nesse exercício, além da função composta existe um produto, então vamos ter que usar a regra do produto também.

Passo 2

Aqui temos um produto entre a função h t = t e w t = ln ⁡ t . Logo, pela regra do produto temos que

y ' = h ' t w t + w ' t h t

Passo 3

Agora precisamos determinar h ' e w ' . A primeira é uma derivada clássica

h ' t = 1

Agora w ' precisamos usar a regra da cadeia

Passo 4

No nosso caso temos uma função g t = t = t 1 2 e f t = ln ⁡ t e a função é w = g ( f t ) . Então vamos derivar usando a regra da cadeia

w ' = g ' f t ⋅ f ' ( t )

Passo 5

Lembrando das derivadas clássicas

f ' t = 1 t

g ' t = 1 2 t - 1 2 = 1 2 t

Temos então pela expressão acima que

w ' = 1 2 ln ⁡ t ⋅ 1 t = 1 2 t ln ⁡ t

Passo 6

Juntando tudo temos que

y ' = h ' t w t + w ' t h t = 1 ln ⁡ t + 1 2 t ln ⁡ t t = ln ⁡ t + 1 2 ln ⁡ t = 2 ln ⁡ t + 1 2 ln ⁡ t

Resposta

y ' = 2 ln ⁡ t + 1 2 ln ⁡ t

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