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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 38

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = ln ⁡ sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + 2 ln ⁡ θ

Passo 1

Ao derivar temos que tomar muito cuidado para ver se não tem uma função dentro da outra (função composta). Se tiver precisamos usar a regra da cadeia!

Passo 2

Aqui temos que y é a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + 2 ln ⁡ θ . Então pela regra da cadeia vamos ter que

y ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Passo 3

Precisamos agora calcular tanto f ' quanto g ' . A primeira é uma derivada tabelada e vale

f ' θ = 1 θ

Passo 4

A derivada de g vai pedir a regra do quociente, pois g é a divisão de h θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ com w θ = 1 + 2 ln ⁡ θ . Logo temos que

g ' θ = h ' θ w θ - h θ w ' ( θ ) w 2 ( θ )

Passo 5

Então vamos calcular h ' e w ' . Começamos com w ' :

w ' θ = 1 + 2 ln ⁡ θ ' = 1 ' + 2 ln ⁡ θ ' = 2 θ

Passo 6

A derivada de h vai pedir a regra da cadeia pois temos a composição de s θ = θ com t θ = sen ⁡ θ cos ⁡ θ . Logo,

h ' θ = s ' t θ ⋅ t ' θ

Pela tabela das derivadas

s ' θ = 1 2 θ

Pela regra do produto

t ' θ = sen ⁡ θ ' cos ⁡ θ + sen ⁡ θ cos ⁡ θ ' = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Logo,

h ' θ = 1 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

Passo 7

Logo, pelo passo 4

g ' θ = 1 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ 1 + 2 ln ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 θ 1 + 2 ln ⁡ θ 2

Assim, pela fórmula do passo 2, temos que:

y ' = 1 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + 2 ln ⁡ θ   ⋅ 1 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ 1 + 2 ln ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 θ 1 + 2 ln ⁡ θ 2

Resposta

y ' = 1 sen ⁡ θ cos ⁡ θ 1 + 2 ln ⁡ θ   ⋅ 1 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ ⋅ cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ 1 + 2 ln ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 θ 1 + 2 ln ⁡ θ 2

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