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Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 31

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = θ sen ⁡ ln ⁡ θ + cos ⁡ ln ⁡ θ

Passo 1

Antes de sair derivando, precisamos sempre verificar se não existe nenhuma função dentro da outra. Em termos matemáticos, temos que ver se não existe nenhuma composta!

Caso tenha, precisamos usar a regra da cadeia.

Nesse exercício também vamos precisar usar a regra do produto!

Passo 2

Primeiro temos que y é o produto entre f θ = θ e g θ = sen ⁡ ln ⁡ θ + cos ⁡ ln ⁡ θ . Então pela regra do produto, vamos ter que:

y ' θ = f ' θ g θ + g ' θ f θ

Passo 3

Precisamos agora calcular as derivadas de   f e de g . Nesse caso, a derivada de f é clássica e dada por:

f ' θ = 1

Passo 4

Agora vamos calcular a derivada de g :

g ' θ = sen ⁡ ln ⁡ θ + cos ⁡ ln ⁡ θ ' = sen ⁡ ln ⁡ θ ' + cos ⁡ ln ⁡ θ '

Agora para cada um dos termos, vamos usar a regra da cadeia. Então temos que

g ' θ = cos ⁡ ( ln ⁡ θ ) θ - sen ⁡ ln ⁡ θ θ

Passo 5

Juntando tudo temos que:

y ' θ = 1 sen ⁡ ln ⁡ θ + cos ⁡ ln ⁡ θ + cos ⁡ ( ln ⁡ θ ) - sen ⁡ ln ⁡ θ θ θ = 2 cos ⁡ ( ln ⁡ θ )

Resposta

y ' = 2 cos ⁡ ( ln ⁡ θ )

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Determine a derivada.a) y = xa r ct gx
Determine a derivada.i) y = x 2 e a r c t g 2 x
Determine a derivada.m) f x = e - xa r c t g e x t gx
Determine a derivada.c) g ( x ) = a r c s e n ( x 3 )
Determine a derivada.e) y = 3 a r c t g 2 x + 3