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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 33

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = ln ⁡ 1 x x + 1

Passo 1

Quando eu vejo uma divisão dentro do logaritmo eu já penso logo na propriedade da subtração:

y = ln ⁡ 1 x x + 1 = ln ⁡ 1 - ln ⁡ x x + 1

Talvez você não lembre, mas ln ⁡ 1 = 0 , então

y x = - ln ⁡ x x + 1

Passo 2

Aqui temos que y é a composta de f x = ln ⁡ x com g x = x x + 1 . Então pela regra da cadeia temos que

y ' x = - f ' g x ⋅ g ' x

Passo 3

Precisamos agora calcular as derivadas de   f e de g . Nesse caso, a derivada de f é clássica e dada por:

f ' x = 1 x

Passo 4

Agora para calcular a derivada de g vamos precisar usar a regra do produto! Temos que a g é o produto de h x = x com w x = x + 1 , logo

g ' x = h ' x w x + w ' x h ( x )

Passo 5

Agora as derivadas de h e w são tabeladas e valem:

h ' x = 1

w ' x = 1 2 x + 1

Logo, temos que

g ' x = x + 1 + x 2 x + 1 = 3 x + 2 2 x + 1

Passo 6

Usando a expressão do passo 2, temos que

y ' x = - ln ⁡ x x + 1 ⋅ 3 x + 2 2 x + 1

Resposta

y ' = - ln ⁡ x x + 1 ⋅ 3 x + 2 2 x + 1

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Determine a derivada.j) y = (x a r c t g x)/(cos 2 x)
Determine a derivada.f) y = a r c s e n ( e^x )
Determine a derivada.l) y = e^(- 3 x) + ln (a r c t g x)
Determine a derivada.h) y = (s e n 3 x)/(a r c t g 4 x)
Determine a derivada.d) y = a r c t g ( x^2 )