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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 34

Nos exercícios 11-40, determine as derivadas de y em relação a x , t ou θ , conforme o caso.

y = 1 2 ln ⁡ 1 + x 1 - x

Passo 1

Quando eu vejo uma divisão dentro do logaritmo eu já penso logo na propriedade da subtração:

y = ln ⁡ 1 + x 1 - x = 1 2 ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ 1 - x

Passo 2

Partiu derivar? Partiu!

y ' x = 1 2 ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ 1 - x ' = 1 2 ln ⁡ x + 1 ' - ln ⁡ x - 1 '

Passo 3

Agora precisamos derivar esses logaritmos. Vamos derivar um a um. Fique atento, pois como temos uma composta entre f x = ln ⁡ x   e g x = x + 1 , precisamos usar a regra da cadeia:

ln ⁡ x + 1 ' = f ' g x ⋅ g ' x

Passo 4

As derivadas de f e g são tabeladas e valem:

f ' x = 1 x

g ' x = 1

Logo,

ln ⁡ x + 1 ' = f ' g x ⋅ g ' x = 1 x + 1

Passo 5

Agora para derivar ln ⁡ x - 1 vai ser bem parecido, mas a composição é entre f x = ln ⁡ x e w x = x - 1 . Pela regra da cadeia temos que

ln ⁡ x - 1 ' = f ' w x ⋅ w ' x

As derivadas de f , w são tabeladas e valem

f ' x = 1 x

w ' x = 1

Logo,

ln ⁡ x - 1 ' = 1 x - 1

Passo 6

Juntando tudo temos

y ' x = 1 2 1 x + 1 - 1 x - 1

Resposta

y ' = 1 2 1 x + 1 - 1 x - 1

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Seja f x = e x - e - x 2 a) Mostre que f é inversível e determine sua inversa g b) Esboce os gráficos de f e de g
Verifique queb) sec (a r c t g x) = sqrt(1 + x^2)
Seja f uma função cujo domínio e imagem são intervalos. Prove que se f for estritamente crescente (ou estritamente decrescente), então f será contínua.
Determine a derivada.a) y = x a r c t g x
Determine a derivada.i) y = x^2 e^(a r c t g 2 x)