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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 10

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

10. y = (sen x + cos x) sec x

Passo 1

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((sen x + cos x) sec x)

Regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Onde u = (sen x + cos x) e v = sec x :

(d y)/(d x) = ( sec x ) (d)/(d x) (sen x + cos x) + ( sen x + cos x ) (d)/(d x) (sec x)

Passo 2

A derivada de ( sec x ) é igual a ( sec x tg x ) :

(d y)/(d x) = ( sec x ) (d)/(d x) (sen x + cos x) + ( sen x + cos x ) ( sec x tg x )

Agora é só usar a regra da soma para aquela derivada que tá faltando:

Derivada de ( sen x ) é igual a ( cos x )

E a derivada de ( cos x ) é igual a ( - sin x )

(d y)/(d x) = ( sec x ) ( cos x - sen x ) + ( sen x + cos x ) ( sec x tg x )

(d y)/(d x) = ( sec x cos x - sec x sen x ) + ( sen x sec x tg x + cos x sec x tg x )

Passo 3

A gente pode simplificar essa equação usando a relação:

sec x = (1)/(cos x) , portanto:

(d y)/(d x) = ((1)/(cos x) cos x - (1)/(cos x) sen x) + (sen x (1)/(cos x) tg x + cos x (1)/(cos x) tg x)

(d y)/(d x) = (1 - (sen x)/(cos x)) + ((sen x)/(cos x) tg x + tg x)

A gente também sabe que (sen x)/(cos x) = tg x . Logo, a equação vai ficar assim:

(d y)/(d x) = (1 - tg x) + (tg^2 x + tg x)

(d y)/(d x) = tg^2 x + 1

Resposta

(d y)/(d x) = tg^2 x + 1

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