Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = 3 x - 2 . Vejamos que a função f não tem raízes reais.

Passo 2

Vamos calcular f ' x :

f ' x = 3 . - 1 . 1 x - 2 2 → f ' x = - 3 x - 2 2

Como x - 2 2 ≥ 0   ∀   x ∈ R , temos que f ' x < 0   ∀   x ∈ [ 0,4 ] .

Além disso, f ' ( x ) também não tem raízes.

Passo 3

Calculando f ' ' ( x ) :

f ' ' x = - 3 . - 2 . 1 x - 2 3 → f ' ' x = 6 x - 2 3

Logo, o sinal de f ' ' ( x ) depende exclusivamente do sinal de x - 2 . Assim, teremos que:

S e   x < 2 ,   f ' ' x < 0 S e   x > 2 ,   f ' ' x > 0

Passo 4

Vejamos que o ponto x = 2   não pertence ao domínio da função, pois não podemos dividir um número por zero. Calculando o limite quando x tende a 2, teremos:

lim x → 2 - ⁡ f ( x ) = lim x → 2 - ⁡ 3 x - 2 = - ∞   e   lim x → 2 + ⁡ f ( x ) = lim x → 2 + ⁡ 3 x - 2 = + ∞

Logo, x = 2   é uma assíntota vertical da função.

Passo 5

Passo 6

Utilizando esses dados e marcando alguns pontos, teremos o gráfico abaixo:

Passo 7

Além disso, vimos que a função tende a + ∞ quando se aproxima de 2 pela direita e a - ∞ quando se aproxima de 2 pela esquerda. Logo, f x   não tem extremo absoluto.

Resposta

Gráfico:

E não tem extremos absolutos.

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