7- Mostre que a reta x x 0 + y y 0 = 2 é tangente à curva ( x x 0 ) 3 + ( y y 0 ) 3 = 2 no ponto ( x 0 , y 0 ) .

Enunciado

Para ver que a reta é tangente à curva no ponto dado, é necessário que analisemos as derivadas das respectivas funções.

Antes de começarmos a por a mão na massa, vejamos que a reta pode ser reescrita como .

Vamos agora calcular as derivadas:

Reta:

Curva:

Para que a reta seja tangente à curva, precisamos que o coeficiente angular da reta no ponto seja o mesmo do da curva no mesmo ponto.

Assim, vamos resolver essa equação:

Note que agora nós simplesmente descartamos o denominador, e podemos trabalhar com apenas o numerador da fração.

Olha que legal, do enunciado da questão nós sabemos que não pode ser zero (já que não é possível efetuar divisão por zero).

Assim, vamos ser felizes porque o que está dentro dos parênteses é um produto notável, notaram?

Ok, mas e aí? Encontramos y, mas não bate com o valor do ponto ...

Calma aí, mas temos dois possíveis valores para , então vamos observar o comportamento de y quando .

Olha lá, o apareceu! Agora parte pro abraço porque achamos o ponto (na segunda opção ;))!

Assim, provamos que no ponto pertence a ambas reta e curva e têm mesma inclinação e, portanto, resolvemos o problema!

Ei, a resposta está no passo a passo :)