Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.17 - Ex. 5
5- Determine uma reta que seja paralela a e que seja tangente à curva
.
Passo 1
Notemos, inicialmente, que para que uma reta seja paralela a outra é necessário que ambas tenham mesmo coeficiente angular e coeficiente linear diferentes.
Portanto, temos que tem coeficiente angular igual a -1, então a reta que procuramos precisa ter coeficiente angular igual a também.
Passo 2
Agora precisamos que essa reta que tenha coeficiente angular seja tangente à .
Pra isso vamos calcular a derivada de em relação a e procurar em que ponto essa derivada é igual a . Lembrando que valor da derivada de em um ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente àquela curva ;)
Mas pra fazer essa derivadinha, temos que fazer uma derivada implícita! Vai ficar assim
Lembrando que na derivada de usamos a regra do produto () e na derivada de usamos a regra da cadeia .
Passo 3
Como queremos que o valor da derivada seja , basta substituir na equação que acabamos de achar
Calma que isso aqui não tem nada a ver com a reta que queremos hein!
Essa relação que acabamos de achar só nos diz que condições devem ser satisfeitas para que a derivada na nossa curva seja ;)
Agora vamos substituir essa relação na nossa equação da curva
Opa! Temos duas soluções! Isso significa que temos dois pontos! Como já dizemos que , então os pontos são
Nesses dois pontos a reta tangente a nossa curva é paralela a ! Show! Estamos quase lá!
Passo 4
Sabemos que temos duas retas! E pra cada reta temos um ponto ( e ) e já sabemos qual inclinação elas devem ter.
Para achar as retas, vamos usar que a inclinação de uma reta é dada por
Onde é a inclinação da reta e é um ponto dessa reta.
Assim, uma das retas é
E a outra é