Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.5 - Ex. 15
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Eaeee, belezinha??? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
O domínio da função é onde o denominador não é zero.
Como é sempre positivo, o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 3
Para encontrar a interceptação em definimos
Portanto, a interceptação é .
Para encontrar a interceptação em definimos
Isso ocorre so quando o
Portanto, a interceptação é .
Passo 4
Observe que a função é ímpar:
Como ela é ímpar, ela apresenta simetria com relação à origem.
Passo 5
Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:
Assim, tanto para como para , a reta é assíntota horizontal da função.
Como o domínio da função é a reta real toda, o gráfico da função não vai apresentar assíntotas verticais.
Passo 6
Para os intervalos de crescimento e decrescimento, precisamos de :
Como , o termo vai mandar no sinal de :
Assim, é ponto de mínimo local, enquanto que é ponto de máximo local.
Passo 7
Por fim, vamos analisar a concavidade da curva. Fazendo a segunda derivada:
Assim,
Como , o termos que vai mandar no sinal de é :
Assim, os pontos de inflexão são , e .
Resposta
O esboço da curva:
