Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = x^2 / (x^2 + 3)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.

Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:

Domínio: Conjunto de todos os valores de (   x   ) para os quais a função f x é definida.

Interseções com os Eixos:

- Eixo x : Onde (   f ( x )   =   0   ) .

- Eixo y : Onde (   x   =   0   ) , ou seja, f ( 0 )

Simetria:

- Função Par: (   f - x =   f x ) .

- Função Ímpar:   (   f - x =   - f x ) .

Assíntotas:

- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.

- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme (   x → ± ∞ ) .

Derivadas e Comportamento da Função:

- Primeira Derivada f ' x : Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.

- Segunda Derivada f ' ' x : Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.

Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).

Concavidade e Pontos de Inflexão:

- Concavidade para cima: (   f ' ' x >   0   ) .

- Concavidade para baixo: (   f ' ' x <   0   ) .

- Pontos de Inflexão: Onde (   f ' ' x =   0   )   e muda de sinal.

Bora lá!! 😉

Passo 2

Como o denominador não pode se anular, devemos ter x 2 + 3 ≠ 0 . Assim,

D f = R

Passo 3

A única interseção com os eixos coordenados ocorre na origem ( 0,0 ) .

Passo 4

Note que a função é par:

f - x = - x 2 - x 2 + 3

= x 2 x 2 + 3 = f ( x )

Portanto, ela apresenta simetria com relação ao eixo y .

Passo 5

Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 x 2 + 3

= lim x → + ∞ ⁡ x 2 x 2 + 3 = 1

Assim, tanto para - ∞ como para + ∞ , a reta y = 1 é assíntota horizontal da função.

Como o domínio da função é real, ela não tem assíntotas verticais.

Passo 6

Para os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar a função:

y ' = 2 x ⋅ x 2 + 3 - x 2 ⋅ 2 x x 2 + 3 2

= 6 x x 2 + 3 2

O sinal de y ' será:

Assim, o ponto ( 0,0 ) é ponto de mínimo local.

Passo 7

No estudo da concavidade, precisamos de y ' ' :

y ' ' = 6 ⋅ x 2 + 3 2 - 6 x ⋅ 2   x 2 + 3 ⋅ 2 x x 2 + 3 4

= 6 x 2 + 3 - 24 x 2 x 2 + 3 3

Assim,

y ' ' = - 18   ( x 2 - 1 ) x 2 + 3 3

Assim, o sinal de y ' ' será:

Os pontos - 1 , 1 4 e 1 , 1 4 são pontos de inflexão em que a concavidade da curva muda.

Resposta

O esboço da curva:

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