Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.2 - Ex. 43
Mostre que a fórmula do Teorema 7.2.3 pode ser escrita como
Passo 1
A questão pede para mostrarmos que a fórmula apresentada no teorema 7.2.3 pode ser reescrita como:
O teorema 7.2.3 basicamente estabelece que se é uma função invertível com e sua inversa é dada por , então
O teorema estabelece a mesma relação, porém usando a notação com para as derivadas: se e , então
Usaremos essa relação para demonstrar a relação pedida.
Passo 2
Se todas as hipóteses do teorema forem satisfeitas, temos que
onde . Assim, podemos inverter essa relação para obter
Como, por hipótese, é invertível, temos garantia que essa última passagem é válida. Assim, temos que
Como é algum ponto do domínio de e a relação é válida para todos os pontos do domínio, podemos generalizar a relação para todo :
Demonstramos assim o que foi pedido!
Resposta
Demonstração.