Mostre que a fórmula do Teorema 7.2.3 pode ser escrita como

f^(-1)'(x) = 1 / (f'(f^(-1)(x)))

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que a fórmula apresentada no teorema 7.2.3 pode ser reescrita como:

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

O teorema 7.2.3 basicamente estabelece que se y = f ( x ) é uma função invertível com f ' x ≠ = 0 e sua inversa é dada por x = f - 1 ( y ) , então

d x d y = 1 d y d x

O teorema 7.2 . 4 estabelece a mesma relação, porém usando a notação com ' para as derivadas: se f c = d e f ' c ≠ 0 , então

f - 1 ' d = 1 f ' ( c )

Usaremos essa relação para demonstrar a relação pedida.

Passo 2

Se todas as hipóteses do teorema forem satisfeitas, temos que

f - 1 ' d = 1 f ' ( c ) ,

onde f c = d . Assim, podemos inverter essa relação para obter

c = f - 1 ( d )

Como, por hipótese, f é invertível, temos garantia que essa última passagem é válida. Assim, temos que

f - 1 ' d = 1 f ' f - 1 d

Como d é algum ponto do domínio de f - 1 e a relação é válida para todos os pontos do domínio, podemos generalizar a relação para todo x :

f - 1 ' x = 1 f ' f - 1 x

Demonstramos assim o que foi pedido!

Resposta

Demonstração.

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